Le problème de trouver trois carrés x², y² et z² en
progression arithmétique de raison a conduit aux équations :
y² - a = x²
y² + a = z²
Par addition membre à membre on obtient 2y² = x² + z² x et z sont ainsi de même parité et on peut poser z + x = 2u,
z - x = 2v.
C'est à dire x = u - v et z = u + v. 2y² = (u + v)² + (u - v)² = 2(u² + v²) et donc
y² = u² + v². u,v,y forment donc un triplet de Pythagore, donné par les formules :
u = 2mpq, v = m(p² - q²), y = m(p² + q²) (ou en échangeant u et v).
Comme 2a = z² - x² = (z + x)(z - x) = 4uv :a = 4m²pq(p² - q²) Si p et q de même parité, p² - q² est pair, sinon l'un des deux p ou q est pair
de sorte que a est divisible par 8.
En examinant le reste de la division par 3 de pq(p² - q²)
en fonction des restes des divisions par 3 de p et q, on montre (exercice) que a est divisible par 3.
Donc :
la raison a est toujours un multiple de 24
Nota :
l'aire du triangle de Pythagore (u,v,y) est uv/2 = m²pq(p² - q²), en conséquence :
L'aire d'un triangle rectangle à côtés entiers est toujours un multiple de 6.
On obtient alors toutes les solutions en balayant m,p,q dans les formules :
a = 4m²pq(p² - q²)
x = m|2pq - (p² - q²)|
y = m(p² + q²)
z = m(2pq + (p² - q²))
Si (x,y,z) est une solution, (kx,ky,kz) aussi et on peut se contenter des solutions "primitives" pour lesquelles
x, y et z n'ont aucun diviseur commun.
On peut donc fixer m = 1, p et q de parité opposée et premiers entre eux, p > q > 0. Un petit tableau de solutions primitives
p
q
a
x
y
z
x²
y²
z²
etc... et leurs multiples comme x = 2 y = 10 z = 14 (4,100,196, raison = 96)
