Triangles entiers - Solutions

A = 2B. Traçons AI la bissectrice de A. Les triangles ACI et BCA sont semblables.
Donc AC/BC = AI/AB = CI/CA. De plus le triangle ABI est isocèle et AI = BI.
Comme BC = BI + CI : AC/BC = BC/(AB + AC) et BC² = AC(AB + AC) ou encore :

a² = b(b + c)

Réciproquement si dans un triangle les côtés satisfont cette relation, A = 2B.
Il s'agit donc de résoudre cette équation en nombres entiers pour trouver toutes les solutions au problème.
Les solutions ne conviennent que si |b - c| < a < b + c c'est à dire b < a < 2b.

Si a,b,c est un tel triangle, ka,kb,kc aussi et on ne cherchera que les solutions où a,b,c sont premiers entre eux.
Soit p un diviseur commun à b et c, il divise b + c et donc p² divise b(b + c) et p divise a.
Donc b et c premiers entre eux. Comme leur produit est un carré, chacun d'eux est un carré soit b = n² et b + c=m².
Il vient finalement :

a = mn  b = n²  c = m² - n²   m et n premiers entre eux   1 < n < m < 2n

Et un petit programme donne les premières valeurs jusqu'à m = 20 :

m

n

a

b

c