Triangles entiers - Solutions

Trouver les triangles entiers avec angle A = n×B

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)
Pour avoir A = n×B et C = π - (n+1)B il faut donc :

a/b = sin(n×B) / sin(B)
c/b = sin((n+1)B) / sin(B)

Nous allons exprimer sin(n×B)/sin(B) = Pn(2cos(B)) comme un polynome en x = 2cos(B),
quelques essais avec la formule de De Moivre montrant un facteur 2k pour chaque terme cosk(B).

On obtient immédiatement Pn+1 = Pn×cos(B) + cos(n×B) [1]
Et pour n-1 : Pn = Pn-1×cos(B) + cos((n-1)B) [2]

cos(n×B) = cos((n-1)B)×cos(B) - sin((n-1)B)×sin(B) = cos((n-1)B)×cos(B) - Pn-1×(1 - cos²(B)) [3]

En éliminant cos(n×B) et cos((n-1)B) entre ces trois équations on obtient
Pn+1 = 2×Pn×cos(B) - Pn-1

2cos(B) = (a² + c² - b²)/(a×c) = u/v est rationnel si on veut a,b,c rationels.
Ceci justifie à postériori le choix de x = 2cos(B), sinon on pourrait rater des solutions.
u/v < 2 bien entendu.
A + B < π donne A < π/(n+1) et donc u/v > 2cos(π/(n+1))
Les premiers polynomes s'obtiennent directement pour amorcer la récurence :
P1 = sin(B)/sin(B) = 1
P2 = sin(2B)/sin(B) = 2sin(B)cos(B)/sin(B) = 2cos(B) = u/v

Ceci donne finalement la solution générale :

 a = vn×Pn(u/v)
 b = vn
 c = vn×Pn+1(u/v)

 P1 = 1
 P2 = u/v
 Pn+1 = Pn×(u/v) - Pn-1

 u et v ∈ N avec 2cos(π/(n+1)) < u/v < 2  

Les polynomes P s'obtiennent ainsi par récurence ce qui donne :
P1 = 1
P2 = (u/v)
P3 = (u/v)2 - 1
P4 = (u/v)3 - 2(u/v)
P5 = (u/v)4 - 3(u/v)2 + 1
P6 = (u/v)5 - 4(u/v)3 + 3(u/v)
...

En particulier P5 et P6 donnent les triangles avec A = 5B.
a = u4v - 3u2v3 + v5
b = v5
c = u5 - 4u3v2 + 3uv4
2cos(π/6) = √3 < (u/v) < 2
La plus simple fraction > √3 et < 2 est u/v = 7/4, et donc la plus petite valeur de b = v5 :
a = 1220
b = 1024
c = 231

On vérifie que :
cos(B) = (1220² + 231² - 1024²)/(2×1220×231) = 7/8 = u/2v
cos(A) = (231² + 1024² - 1220²)/(2×231×1024) = -1673/2048

Et les formules de De Moivre cos(5B) = 5cos(B) - 20cos3(B) + 16cos5(B) donnent bien cos(5B) = -1673/2048

Pour n = 2, cela redonne les formules trouvées précédemment : a = uv, b = v², c = u² - v²
 

 

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