Geodesiques - Solutions

Une fourmi est située sur un des murs d'une pièce et veut rejoindre un point sur le mur opposé.
Quelle est le trajet le plus court ?

La trajectoire la plus courte est formée de segments de droites répartis sur les différentes faces.
Sur un "patron" de ce polyèdre elle forme une droite. Par exemple :

Un polyèdre peut être représenté par un patron de différentes façons, conduisant chacune à un trajet différent. Reste à chercher le plus court de ces trajets. Il peut d'ailleurs y avoir plusieurs solutions.

Cas général

Il y a déjà 4 orientations possibles pour la face de départ. En éliminant les cas où la trajectoire fait un tour complet et plus, il y a pour chacune 7 possibilités pour la face d'arrivée.


Soit en tout à priori 28 patrons et 28 trajets à examiner. Certains d'entre eux sont "hors concours" car quelles que soient les positions de départ et d'arrivée, et les dimensions de la pièce, un autre trajet est toujours plus court.
Certains sont aussi "irréels" car sortent du patron correspondant, comme dans le dernier cas ci-dessus.

Notations

Fixons une référence sur la face de départ, de dimensions 2a x 2b. Les coordonnées du point de départ étant (x,z) par rapport au centre de cette face (y est réservé pour la longueur de la pièce). Le point d'arrivée est aux coordonnées (u,v) sur la face opposée. Par symétrie on peut imposer 0<x<a, 0<z<b. Définissons cela sur le patron ci-contre.
Notons ce patron de référence le patron "44" et le trajet correspondant le trajet "44". Le carré de sa longueur est :
d²44 = (a-x+y+a+u)² + (z-v)² = (2a+y-x+u)² + (z-v)²
Les autres patrons seront nommés d'après l'emplacement des faces départ et arrivée. Le premier indice note les rotations de la face de départ, le second celui de la face d'arrivée.

Calcul des longueurs

Le calcul des longueurs, s'il est assez pénible compte tenu du nombre de trajets à calculer, est simple.
Par exemple le trajet 56 à pour longueur d56 avec d²56= (a+b+y+z-u)² + (a+b+x+v)²
On ne calcule en fait que les dij avec  i-2≤j≤i+2   en effet di i+3>di i-1, di i-3>di i+1 et di j±4>dij les autres sont encore plus longs car plus d'un tour. Cela laisse quand même 20 chemins à calculer.

Conditions d'existence

Nous donnons en annexe les longueurs et conditions d'existence des 20 trajets à examiner dans le cas général.
Dans la pratique, ces formules s'utilisent avec un programme (20 trajets à calculer et à comparer !).

Cas particulier  z = v = 0, x = u

C'est à dire sur le plan de symétrie et diamétralement opposés, ce qui correspond au problème classique.
Nous allons étudier les variations en fonction de x et de y, a et b étant donnés. Nous poserons t = a/b.
Dans ces conditions, certains trajets ci-dessus deviennnent identiques par symétrie. Il reste ainsi seulement 4 trajets à examiner.

Existence
(33) : toujours
(42) : (2a+2b)/(2a+y-2x)<b/(a-x) soit by>2a²-2ax
(43) : (a+b+x)/(a+b+y-x)<b/(a-x) et (a+x)/b) soit by>a²-b²-x² et y>(b²-a²+x²)/(a+x)
(44) : toujours

L'existence de (42) est délimité par la droite by = 2a²-2ax. Elle coupe l'axe Ox en x = a, l'axe Oy en y = 2a²/b.

L'existence de (43) est un peu plus compliquée car dépend de deux conditions.

Distances

(33) : d²=(2b+y)² + 4x²
(42) : d²=(2a+y-2x)² + (2a+2b)²
(43) : d²=(a+b+y-x)² + (a+b+x)²
(44) : d²=(2a+y)²

Comparons ces 4 distances deux à deux en fonction de x et y, avec a,b comme paramètres.

1) F1 = ((33)-(42))/4 = xy + 2ax + (b-a)y - 2a² - 2ab.
F1 = 0 est l'équation dans le plan (x,y) d'une hyperbole d'asymptotes x = a-b et y = -2a, passant par le point (a,2a).

y = (2a² + 2ab - 2ax)/(x + b - a)

F1(0,0)<0 identifie les régions où F1<0 (d33 < d42) et où F1>0 (d42 < d33)
Ces régions sont restreintes à 0<x<a/2, y>0
Cette hyperbole est toujours au dessus de la droite d'existance de d42, dans une région où de toute façon d33 est plus courte. Si a<b, l'hyperbole coupe Oy en y = 2(a²+ab)/(b-a) = 2a(1+t)/(1-t) et la région F1<0 est finie.

2) F2 = ((33)-(43))/2 = x² + xy + (b-a)y + b² - a² - 2ab
F2 = 0 est l'équation dans le plan (x,y) d'une hyperbole d'asymptotes x = a-b et y = -x + b - a.

y = (x² + b² - a² - 2ab)/(a - b - x)

x = a, y = 2a - b.
y = 0, x² = a²(1 + 2/t - 1/t²), si t<√2-1, F2>0 pour tout x,y (d43 plus courte)

3) F3 = ((33)-(44))/4 = x² + (b-a)y + b² - a²
F3 = 0 est l'équation dans le plan (x,y) d'une parabole.

y = (x² + b² - a²)/(a - b) de sommet x = 0, y = -(a+b)

Elle coupe Ox en √(a²-b²) si a>b
Si a≤b F3>0 (d44 plus courte)

4) F4 = ((42)-(43))/2 = x² - xy - 4ax + (a-b)y + 3a² + b² + 2ab
F4 = 0 est l'équation d'une hyperbole

y = (x² - 4ax + 3a² + b² + 2ab)/(x - a + b)

Asymptotes x = a - b et y = x - 3a - b
x = a, y = 2a + b

5) F5 = ((42)-(44))/4 = x² - xy - 2ax + (a+b)²
F5 = 0 est l'équation d'une hyperbole

y = (x² - 2ax + (a+b)²)/x

Asymptotes x = 0, y = x - 2a, sommet à x = a + b, y = 2b
x = a, y = 2b + b²/a

6) F6 = ((43)-(44))/2 = x² - xy + (b-a)y - a² + b² + 2ab
F6 = 0 est l'équation d'une hyperbole

y = (x² - a² + b² + 2ab)/(x + a - b)

Asymptotes x = b - a, y = x + b - a
L'asymptote verticale est au delà de x = a pour t<1/2
y = 0 pour x² = a² - b² - 2ab = b²(t² - 2t + 1) soit t > 1 + √2 (ou t < 1 - √2 < 0)
Si t<1/2, F6>0 (d44 toujours plus petit)

Traçons ces courbes sur un même diagramme, en fonction des divers cas de figure selon les valeurs de t :


On note ici un domaine fermé où d43 est la plus petite.
Ce domaine est déterminé par l'intersection des courbes F4 42-43 et F6 43-44.
Les points d'intersection sont d'ailleurs communs avec la courbe F5 42-44. Ceci est évident par transitivité de a < b, ou en écrivant F4 : y =A/B, F6 : y = C/D, et donc y = (uA+vC)/(uB+vD) qui est F5.
Ces points triples sont définis par l'équation (a+b)x² - 2abx - (a-b)(a+b)² = 0
Ce domaine existe si cette équation à des solutions, c'est à dire si t4+2t3+t2-2t-1>0
La seule solution positive de cette équation du 4ème degré est t0 = 0.8832035... Le domaine d43 existe donc si t>t0
Lorsque t≥1 ces points triples sont rejetés au delà de x=a, et x<0, le domaine d43 devient infini.

Pour t>1 il y a apparition du domaine d33. Là encore il y a un point triple défini par :
x³ - (a²-b²)x - 2ab(a-b) = 0
Si t>1, cette équation possède une seule solution positive. Cette solution est x=a pour t = 3/2.
Elle est dans le domaine de validité 0<x<a si 1<t<3/2. Pour t>3/2, il n'y a plus de point triple :

Choix d'énoncés

Le trajet le plus "spectaculaire" est le trajet 42.
Il peut donc être intéressant de choisir les données de l'énoncé pour avoir ce trajet.
Cela est toujours possible, mais d'autant plus facile que t est faible.

Un autre cas intéressant est celui ou en faisant légèrement varier la position de départ, à dimensions constantes, des trajets différents sont obtenus, en particulier le cas ou tous les trajets sont obtenus successivement.
Ceci nécessite 1<t<1.5 et même t plus près de 1 pour que le point triple soit au dessus de 2a+b
Les coordonnées de ce point triple sont (x, 2ab/x), avec x solution de x³ - (a²-b²)x - 2ab(a-b) = 0
En portant y = 2a+b donc x = 2ab/y = 2ab/(2a+b) dans cette équation, on obtient la valeur limite de t, solution de :
12t4 + 8t3 - 13t2 - 9t - 2 = 0 soit t = 1.089175...
Les 4 trajets différents sont donc obtenus si 1<t<1.089175
Ceci n'est pas une valeur sympathique (du genre 1 m et 1.05 m).

On peut se contenter de 3 valeurs et alors choisir 42-43-44 (0.8832035<t<1) ou 42-43-33 (large choix de t>1)
ou le point triple 33-44-43 (1<t<1.5).

Il est aussi possible de faire varier la longueur y, tout le reste étant constant, pour obtenir successivement les 4 trajets.
Ceci est plus facile puisqu'il suffit de choisir t>1 et x>√(a² - b²), mais inférieur au point triple s'il y en a un.

Conditions d'existence

(31) : (2a+2b+x-u)/(2b+y-z+v)<(a+x)/(b-z) et (a-u)/(b+v)
(32) : (a+b+x-v)/(a+b+y-z-u)<(a+x)/(b-z) et (b-v)/(a-u)
(33) : toujours
(34) : (a+b-x-v)/(a+b+y-z+u)<(a-x)/(b-z) et (b-v)/(a+u)
(35) : (2a+2b-x+u)/(2b+y-z+v)<(a-x)/(b-z) et (a+u)/(b+v)

(42) : (2a+2b-z-v)/(2a+y-x-u)<(b-z)/(a-x) et (b-v)/(a-u)
(43) : (a+b-z+u)/(a+b+y-x-v)<(b-z)/(a-x) et (a+u)/(b-v)
(44) : toujours
(45) : (a+b+z+u)/(a+b+y-x+v)<(b+z)/(a-x) et (a+u)/(b+v)
(46) : (2a+2b+z+v)/(2a+y-x-u)<(b+z)/(a-x) et (b+v)/(a-u)

(53) : (2a+2b-x+u)/(2b+y+z-v)<(a-x)/(b+z) et (a+u)/(b-v)
(54) : (a+b-x+v)/(a+b+y+z+u)<(a-x)/(b+z) et (b+v)/(a+u)
(55) : toujours
(56) : (a+b+x+v)/(a+b+y+z-u)<(a+x)/(b+z) et (b+v)/(a-u)
(57) : (2a+2b+x-u)/(2b+y+z-v)<(a+x)/(b+z) et (a-u)/(b-v)

(64) : (2a+2b+z+v)/(2a+y+x+u)<(b+z)/(a+x) et (b+v)/(a+u)
(65) : (a+b+z-u)/(a+b+y+x+v)<(b+z)/(a+x) et (a-u)/(b+v)
(66) : toujours
(67) : (a+b-z-u)/(a+b+y+x-v)<(b-z)/(a+x) et (a-u)/(b-v)
(68) : (2a+2b-z-v)/(2a+y+x+u)<(b-y)/(a+x) et (b-v)/(a+u)

Distances

(31) : d²=(2b+y-z+v)² + (2a+2b+x-u)²
(32) : d²=(a+b+y-z-u)² + (a+b+x-v)²
(33) : d²=(2b+y-z-v)² + (x+u)²
(34) : d²=(a+b+y-z+u)² + (a+b-x-v)²
(35) : d²=(2b+y-z+v)² + (2a+2b-x+u)²

(42) : d²=(2a+y-x-u)² + (2a+2b-z-v)²
(43) : d²=(a+b+y-x-v)² + (a+b-z+u)²
(44) : d²=(2a+y-x+u)² + (z-v)²
(45) : d²=(a+b+y-x+v)² + (a+b+z+u)²
(46) : d²=(2a+y-x-u)² + (2a+2b+z+v)²

(53) : d²=(2b+y+z-v)² + (2a+2b-x+u)²
(54) : d²=(a+b+y+z+u)² + (a+b-x+v)²
(55) : d²=(2b+y+z+v)² + (x+u)²
(56) : d²=(a+b+y+z-u)² + (a+b+x+v)²
(57) : d²=(2b+y+z-v)² + (2a+2b+x-u)²

(64) : d²=(2a+y+x+u)² + (2a+2b+z+v)²
(65) : d²=(a+b+y+x+v)² + (a+b+z-u)²
(66) : d²=(2a+y+x-u)² + (z-v)²
(67) : d²=(a+b+y+x-v)² + (a+b-z-u)²
(68) : d²=(2a+y+x+u)² + (2a+2b-z-v)²

 

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