Triangle en carré

Découper un triangle équilatéral pour former un carré.

Le côté du carré équivalent est c² = a/2 × a√3/2.
Une construction possible de ce côté est :
Reporter BU = 1/2 AI.
La perpendiculaire en U à BC coupe le cercle de diamètre BC en T, à l'extérieur du triangle ABC.
BT est la moyenne proportionnelle entre BU et BC, c'est donc le côté du carré équivalent.
La dissection se construit alors en traçant la perpendiculaire à BT depuis le milieu F de AC, elle coupe BC en M.
Construire la perpendiculaire EN à FM depuis le milieu E de AB, puis MP = EF et enfin la perpendiculaire PH à FM.

EN // BT et FM // CT, EFN et BCT sont semblables. EN = BT×EF/BC est la moitié du côté du carré. Les triangles EFN et PMH sont égaux (semblables et MP = EF) donc HP = EN est aussi égal à la moitié du côté du carré. Comme PM = EF = 1/2 BC, BM + PC = MP. Toutes les pièces s'assemblent donc bien.

Nota important : On pourrait avoir l'impression que M est au milieu de BI et P au milieu de IC, conduisant à une construction expéditive et plus simple. Il s'en faut de peu mais C'EST FAUX.

Pour effectuer la construction à partir du carré

Cette dissection marche aussi avec un

Triangle quelconque en carré

Rappelons la méthode précédente dans le cas de la figure ci-contre :
I et J milieux de AC et BC, AH = 1/2 hauteur.
AK = AH.AB est le côté du carré équivallent.
JE _|_ AK (et égal à AK !), puyis IM _|_ JE, EF = IJ, et FN _|_ JE

Il s'agit donc de déterminer à quelles conditions (pour quels triangles ABC) cette construction est possible.

Une première condition est que AH < AB, en posant h_c la hauteur et c la base : h_c < 2c

Une deuxième condition est que la hauteur du triangle ENF soit inférieure à la largeur de la bande, cad à AH = h_c/2.
Les triangles ENF, JMI et OPA sont égaux. Leur hauteur LP = HK/2 (triangles semblables). HK² = OK² - OH² = OA² - (OA - AH)²
Soit : HK² = c²/4 - c²/4 - h_c²/4 + c.h_c/2 < h_c², ou h_c > 2c/5.

2c/5 < hc < 2c

Maintenant intéressons nous à l'inclinaison du triangle, c'est à dire pour une hauteur donnée h_c, aux limites latérales du point C.

A gauche, la valeur limite est quand E vient en A.
Le triangle ETJ est égal à AHK, le lieu extrème de J est donc le demi-cercle transformé par rotation de 90° du demi-cercle de diamètre AB.
BC = 2BJ donne le lieu extrème de C, demi-cercle de centre V et de rayon VU = AB

A droite, la limite est quand F vient en B, et E en O.
Le triangle ETJ = AHK donne le lieu extrème de J :
Demi-cercle, transformé du demi-cercle de diamètre AB par rotation de 90° et translation de vecteur AO.
Enfin BC = 2BJ donne le lieu extrème de C :
demi-cercle de centre U et de rayon AB.

Et finalement en combinant toutes les contraintes :

Il faut bien entendu aussi prendre le symétrique en faisant la construction de l'autre côté.
Une condition nécessaire est ainsi que le plus grand angle de ABC soit inférieur à 180° - atan(2) = 116° 33' 54".
Pour cette valeur limite, 3 pièces suffisent car la quatrième a une taille nulle.

En résumé (Fichier Geogebra):

Cas particuliers

Notons aussi que cette découpe en 3 pièces seulement n'est pas le seul cas particulier. Si on part du carré, on peut obtenir un triangle par une découpe évidente en 3 pièces. Ceci ne permet pas d'obtenir tous les triangles, mais uniquement ceux pour lesquels une hauteur est la moitié de la base.

On peut même obtenir une découpe en deux pièces seulement du triangle rectangle avec le grand côté le double du petit : angle = arctan(0.5) ≈ 26°34'

Dissection triangle en triangle

Dissection d'un triangle quelconque en un autre triangle.
Les points C et F peuvent être déplacés pour modifier la forme des triangles.
L'aire de ABC reste constante, et l'aire de DEF reste égale à celle de ABC.

La méthode utilisée est celle des bandes. On commence par paver une bande horizontale avec des copies du triangle ABC (lignes vertes).
Le triangle DEF est inscrit de même dans une bande correspondant à sa hauteur (lignes bleues).
Cette bande est placée de sorte que ses bords passent par les milieux n et p de BC et de sa copie, et que le milieu de ef soit au milieu m de AC.
Les pièces se déplacent alors par des rotations de 180° autour de m, n et/ou g.
Elles sont déterminées par les intersections de la bande du triangle def avec la bande (horizontale) de ABC répété,
ainsi que les symétriques nécessaires par rapport à m, n et g.
Nota : g est le milieu de df et aussi l'intersection de df avec la copie de AB.
Nota 2 : la composition des deux rotations autour de g et n est une translation (pièce rose).

Cette dissection reste en 5 morceaux seulement tant que f est intérieur à ABC et C intérieur à def.
Sinon des surfaces "négatives" apparaissent, signe qu'il faut compliquer la découpe,
ou essayer les autres orientations de ABC et de def. (l'applet ci-dessus ne détecte pas ces cas, trop compliqué à programmer en JavaSketchpad, il y a apparition de zones colorées erratiques)
Il y a 3*3 choix possibles pour les côtés qui ont un milieu commun (ici AC et ef).
En fixant ABC, il y a alors deux choix possibles pour le sommet de def susceptible d'être intérieur à ABC (ici e ou f).
Enfin deux choix pour l'autre milieu de ABC (ici n) et deux orientations possibles de la bande de triangles def.
Soit en tout 3*3*2*2*2 = 72 façons de disposer les triangles !
Il s'agit donc de déterminer celle(s), s'il y en a, pour lesquelles les deux sommets sont intérieurs à l'autre triangle.
Pratiquement on réalise les 6 bandes sur papier transparent et ensuite les manipulations vont assez vite.
Je renonce à faire une applet qui afficherait les 72 possibilités !

Remarque : Si les triangles ABC et DEF ont même hauteur, une découpe en 3 pièces seulement suffit.

Celle-ci ne fonctionnant bien entendu que si les sommets sont sur les côtés de l'autre triangle,
en particulier c'est toujours le cas si les triangles sont tous deux aigus, ou encore si la hauteur considérée est la plus petite des trois pour chacun des deux triangles.

A ce propos, signalons une autre méthode, mais non optimale car donnant généralement plus de pièces que la méthode ci-dessus.

Si les deux triangles ont une hauteur minimale h₁ < h₂ ≤ 2×h₁, on peut découper chaque triangle en 3 morceaux pour former un rectangle et redécouper les rectangles l'un dans l'autre en 3 morceaux. La superposition de ces découpes donne la dissection des triangles l'un dans l'autre. Au pire cela nécessite 12 morceaux :

Ce découpage en version dynamique :

Les points C et D sont draggables dans les limites où les deux hauteurs sont les plus petites de chaque triangle (sous les courbes noires),
et où h₁ < h₂ ≤ 2×h₁ (lignes noires horizontales).

Le plus grand nombre minimal de morceaux de la dissection triangle → triangle, dans les cas où ils ne sont pas trop différents (par exemple hauteurs minimum comme ci-dessus) est donc compris entre 5 et 12.