Triangle maximum #4 - Solution

Soit un cercle de centre M et deux points A et P quelconques du plan.
Trouver une sécante PBC telle que l'aire du triangle ABC soit maximale.

L'analyse effectuée pour le problème #2 (PA tangente en A) reste valable. Les conclusions étant :

 Aire(ABC) max <=> Aire(SBC) max pour tout point fixe S de AP
 Aire(ABC) max <=> différence des distances de B et C à AP maximum 
 Q étant le pôle de BC. BC est la bissectrice de APQ

Le problème est donc entièrement défini par le cercle, le point P et la direction de la droite AP.

Revenons à une approche directe du problème.
Plaçons le cercle centré en O (0,0), rayon r, équation x² + y² = r²
La droite AP verticale à la distance p de O, d'abscisse -a
Le point P (-a,-p).
La droite PBC a pour équation y = m.x + a.m - p
Les points B et C sont alors donnés par l'équation :

 (1+m²)x² + 2m(a.m - p)x + (a.m-p)² - r² = 0  (1)

Dont les solutions sont données par :

x = m(p - a.m)/(1 + m²) ± √Δ /(1+m²)
Avec  Δ = r²(1 + m²) - (a.m - p)²  (2)

La différence xC - xB = 2√Δ /(1+m²)

Il s'agit donc de trouver m maximisant cette quantité.
En dérivant par rapport à m, on obtient : (1 + m²)∂Δ/∂m - 4mΔ = 0
Soit (1 + m²)[2m.r² - 2a(a.m - p)] - 4m[r²(1 + m²) - (a.m - p)²] = 0
Ou après développement et simplification :

 (a² - r²)m³ - 3a.p.m² + (2p² - r² - a²)m + a.p = 0  (3)

Cette équation du 3ème degré se simplifie comme on pouvait s'y attendre en une équation du second degré si a = r
(AP tangente au cercle).
Dans le cas général, elle ne se décompose pas dans Q[a,p,r] et la construction géométrique à la règle et au compas de m est impossible.
Si par une autre méthode il était possible de construire BC à la règle et au compas, cela donnerait une construction de m et une contradiction.

 Dans le cas général la construction à la règle et au compas est impossible 

Quelques cas particuliers de simplification

Constructions approchées

Des propriétés géométriques obtenues lors du probléme #2, on peut obtenir point par point le lieu géométrique de points particuliers de la figure. L'intersection avec des droites ou cercles donnés donnent une construction approchée.
La propriété fondamentale est : Q étant le pôle de BC, BC est la bissectrice de APQ.
Il suffit de libérer une des contraintes :
 - Q pôle de BC
 - Symétrique de Q sur AP
 - BC passe par P

pour obtenir des lieux géométriques intéressants et des constructions approchées :
 - Lieu du symétrique de S sur AP => solution quand c'est le pôle de BC.
 - Lieu du symétrique du pôle de BC => solution quand il est sur AP.
 - Lieu du milieu I de SQ, S sur AP symétrique du pôle Q de BC => solution quand PI _|_ SQ
etc...

Lieu du symétrique de S

Une sécante quelconque issue de P coupe le cercle en B et C. Soit I milieu de BC.
Soit J le symétrique de P par rapport à I.
Le lieu de J est le cercle de centre O de rayon OP (image du cercle de diamètre OP, lieu de I, par l'homothétie de centre P de rapport 2).
OI coupe AP en S et soit G le symétrique de S par rapport à I.
SPGJ est un losange et en particulier :
- JG // AP
- PJ est bissectrice de APG

Il est donc aisé de construire point par point le lieu de G.
Pour chaque point J du cercle de centre O de rayon OP :
- Tracer la parallèle en J à AP
- Reporter l'angle JPG = APJ.

On obtient une strophoïde. Définition de la strophoïde :
Etant donné un cercle (C) de centre ω, un point K de ce cercle et un diamètre (D)
Une sécante quelconque issue de K recoupe le cercle en M et le diamètre (D) en S
La strophoïde est le lieu des points G tels que KG = SM.
La strophoïde est dite "droite" (strophoïde de Newton) quand (D) _|_ ωK

Ici le cercle est le cercle de centre P, le point K est le point O. Le diamètre est AP.
Preuve : considérez M le symétrique de O par rapport à PI.
M est sur le cercle de centre P de rayon PO et SM = OG.

Ceci donne une autre construction de la strophoïde :
Tracer le cercle de centre P de rayon PO.
Pour chaque droite passant par O, coupant ce cercle en M et AP en S, tracer OG = SM

La solution est quand G est le pôle Q de BC c'est à dire G et P conjugués, ou encore G sur la polaire de P.
Le lieu de G coupe donc la polaire de P en le point Q solution, à l'extérieur du cercle donné. (Les points Q' et Q" intérieurs au cercle donnent des "sécantes" BC qui ne coupent pas le cercle !)
La droite BC est la perpendiculaire à OQ issue de P.

Equations du lieu de G

J a pour coordonnées (x0, y0) : x0² + y0² = a² + p²
G (x,y) avec x = x0 et GP = GJ, soit (x+a)² + (y+p)² = (y-y0
soit apres élimination de x0, y0 entre ces équations et simplification :

 (a - x)y² - 2p.x.y - x²(a + x) = 0  (4)

Pour un y donné, il y a (au plus) trois valeurs de x. Pour un x donné deux valeurs de y (au plus).
La courbe passe par P(-a,-p), par O(0,0), et a une asymptote verticale pour x = a.
Elle coupe l'asymptote en y = -a²/p.
y existe si x² < p² + a² : La courbe est entièrement contenue dans la bande définie par les tangentes verticales au cercle (O,OP) (géométriquement évident).

Equation paramétrique

 x = d.cos(t), y = -d.cos(t).[a + d.cos(t)] / [p + d.sin(t)] 

Lieu du symétrique de Q

Définition
Nous appellerons "marginal" d'une droite (D) par rapport au cercle le symétrique du pôle de (D) par rapport à (D).
Réciproquement une droite dont le point S est le marginal est la "marginale" de S.
Il y a généralement deux marginales pour un point S donné, de sorte que la transformation n'est pas bijective.
Ceci n'a pas d'importance ici car seul le marginal d'une droite nous intéresse.

Soit une sécante (D) coupant le cercle en B et C et passant par P
Aire(ABC) max <=> marginal de (D) sur AP
Si on construit le lieu du marginal de (D) quand D varie en passant par P, ce lieu coupe AP en un point S.
La droite (D) associée est la solution. Il "suffit" de tracer ce lieu...

Soit I le pied de la perpendiculaire de O à (D). I est le milieu de BC quand (D) coupe le cercle.
Le pôle Q de (D) est sur cette perpendiculaire.
Comme BC, polaire de Q, passe par P, Q est sur la polaire de P.
Le pôle de (D) est donc l'intersection de la polaire de P et de la perpendiculaire à (D) issue de O.
S est le symétrique de Q par rapport à I : 2.OI = OS + OQ
ou encore OS = 2.OI - OQ = OJ - OQ = QJ en posant OJ = 2.OI
Le lieu de I est le cercle de diamètre OP, le lieu de J est le cercle de centre P de rayon OP.

 Le lieu de S est la cissoïde de la polaire de P et du cercle de centre P 
 de rayon PO

C'est une généralisation de la strophoïde vue précédement : la polaire de P n'est pas un diamètre du cercle.
L'asymptote est la symétrique de la polaire par rapport à O.
Nota : le repère est tourné par rapport au cas précédent.

Tracé du lieu de S
Construire la polaire de P.
Tracer le cercle de centre P passant par O.
Pour chaque point J de ce cercle, OJ coupe la polaire en Q
Tracer OS = QJ

Equation de la cissoïde
Dans ce nouveau repère, P = (-p, 0), la polaire a pour équation x = e = r²/p
Les coordonnées de J sont : 2p.cos²(t), 2p.sin(t).cos(t)
Les coordonnées de Q sont : e, e.tan(t). L'équation paramétrique de la cissoïde est donc :

 x = 2p.cos²(t) - r²/p
 y = 2p.sin(t).cos(t) - r²/p tan(t) 

Application
L'intersection S0 de ce lieu avec AP donne la solution :
BC est la perpendiculaire de P à OS0.
Il y a généralement 3 points d'intersection. La perpendiculaire à OS issue de P coupe effectivement le cercle si le point I est dans le cercle. C'est à dire que seule la partie de la cissoïde du même côté que O de la polaire convient. Et même le maximum absolu est sur la partie de l'autre côté de O. Les points sur la boucle donnent des maxima locaux.
Ainsi dans cet exemple, S0 est le maximum, S1 donne un maximum local et S2 ne convient pas (BC ne coupe pas le cercle)

 

Accueil Arithmétiques Géométrique Divers Thèmes Scripts Jeux Exercices Précédent Suivant Parent