Triangle maximum #4 - Solution

Soit un cercle de centre M et deux points A et P quelconques du plan.
Trouver une sécante PBC telle que l'aire du triangle ABC soit maximale.

L'analyse effectuée pour le problème #2 (PA tangente en A) reste valable. Les conclusions étant :

Aire(ABC) max <=> Aire(SBC) max pour tout point fixe S de AP  Aire(ABC) max <=> différence des distances de B et C à AP maximum   Q étant le pôle de BC. BC est la bissectrice de APQ

Le problème est donc entièrement défini par le cercle, le point P et la direction de la droite AP.

Revenons à une approche directe du problème.
Plaçons le cercle centré en O (0,0), rayon r, équation x² + y² = r²
La droite AP verticale à la distance p de O, d'abscisse -a
Le point P (-a,-p).
La droite PBC a pour équation y = m.x + a.m - p
Les points B et C sont alors donnés par l'équation :

 (1+m²)x² + 2m(a.m - p)x + (a.m-p)² - r² = 0  (1)

Dont les solutions sont données par :

x = m(p - a.m)/(1 + m²) ± √Δ /(1+m²)
Avec  Δ = r²(1 + m²) - (a.m - p)²  (2)

La différence x_C - x_B = 2√Δ /(1+m²)

Il s'agit donc de trouver m maximisant cette quantité.
En dérivant par rapport à m, on obtient : (1 + m²)∂Δ/∂m - 4mΔ = 0
Soit (1 + m²)[2m.r² - 2a(a.m - p)] - 4m[r²(1 + m²) - (a.m - p)²] = 0
Ou après développement et simplification :

 (a² - r²)m³ - 3a.p.m² + (2p² - r² - a²)m + a.p = 0  (3)

Cette équation du 3ème degré se simplifie comme on pouvait s'y attendre en une équation du second degré si a = r
(AP tangente au cercle).
Dans le cas général, elle ne se décompose pas dans Q[a,p,r] et la construction géométrique à la règle et au compas de m est impossible.
Si par une autre méthode il était possible de construire BC à la règle et au compas, cela donnerait une construction de m et une contradiction.

Dans le cas général la construction à la règle et au compas est impossible

Quelques cas particuliers de simplification

Constructions approchées

Des propriétés géométriques obtenues lors du probléme #2, on peut obtenir point par point le lieu géométrique de points particuliers de la figure. L'intersection avec des droites ou cercles donnés donnent une construction approchée.
La propriété fondamentale est : Q étant le pôle de BC, BC est la bissectrice de APQ.
Il suffit de libérer une des contraintes :
 - Q pôle de BC
 - Symétrique de Q sur AP
 - BC passe par P

pour obtenir des lieux géométriques intéressants et des constructions approchées :
 - Lieu du symétrique de S sur AP => solution quand c'est le pôle de BC.
 - Lieu du symétrique du pôle de BC => solution quand il est sur AP.
 - Lieu du milieu I de SQ, S sur AP symétrique du pôle Q de BC => solution quand PI _|_ SQ
etc...

Lieu du symétrique de S

Une sécante quelconque issue de P coupe le cercle en B et C. Soit I milieu de BC.
Soit J le symétrique de P par rapport à I.
Le lieu de J est le cercle de centre O de rayon OP (image du cercle de diamètre OP, lieu de I, par l'homothétie de centre P de rapport 2).
OI coupe AP en S et soit G le symétrique de S par rapport à I.
SPGJ est un losange et en particulier :
- JG // AP
- PJ est bissectrice de APG

Il est donc aisé de construire point par point le lieu de G.
Pour chaque point J du cercle de centre O de rayon OP :
- Tracer la parallèle en J à AP
- Reporter l'angle JPG = APJ.

On obtient une strophoïde. Définition de la strophoïde :
Etant donné un cercle (C) de centre ω, un point K de ce cercle et un diamètre (D)
Une sécante quelconque issue de K recoupe le cercle en M et le diamètre (D) en S
La strophoïde est le lieu des points G tels que KG = SM.
La strophoïde est dite "droite" (strophoïde de Newton) quand (D) _|_ ωK

Ici le cercle est le cercle de centre P, le point K est le point O. Le diamètre est AP.
Preuve : considérez M le symétrique de O par rapport à PI.
M est sur le cercle de centre P de rayon PO et SM = OG.

Ceci donne une autre construction de la strophoïde :
Tracer le cercle de centre P de rayon PO.
Pour chaque droite passant par O, coupant ce cercle en M et AP en S, tracer OG = SM

La solution est quand G est le pôle Q de BC c'est à dire G et P conjugués, ou encore G sur la polaire de P.
Le lieu de G coupe donc la polaire de P en le point Q solution, à l'extérieur du cercle donné. (Les points Q' et Q" intérieurs au cercle donnent des "sécantes" BC qui ne coupent pas le cercle !)
La droite BC est la perpendiculaire à OQ issue de P.

Equations du lieu de G

J a pour coordonnées (x₀, y₀) : x₀² + y₀² = a² + p²
G (x,y) avec x = x₀ et GP = GJ, soit (x+a)² + (y+p)² = (y-y₀)²
soit apres élimination de x₀, y₀ entre ces équations et simplification :

 (a - x)y² - 2p.x.y - x²(a + x) = 0  (4)

Pour un y donné, il y a (au plus) trois valeurs de x. Pour un x donné deux valeurs de y (au plus).
La courbe passe par P(-a,-p), par O(0,0), et a une asymptote verticale pour x = a.
Elle coupe l'asymptote en y = -a²/p.
y existe si x² < p² + a² : La courbe est entièrement contenue dans la bande définie par les tangentes verticales au cercle (O,OP) (géométriquement évident).

Equation paramétrique

 x = d.cos(t), y = -d.cos(t).[a + d.cos(t)] / [p + d.sin(t)] 

Lieu du symétrique de Q

Définition
Nous appellerons "marginal" d'une droite (D) par rapport au cercle le symétrique du pôle de (D) par rapport à (D).
Réciproquement une droite dont le point S est le marginal est la "marginale" de S.
Il y a généralement deux marginales pour un point S donné, de sorte que la transformation n'est pas bijective.
Ceci n'a pas d'importance ici car seul le marginal d'une droite nous intéresse.

Soit une sécante (D) coupant le cercle en B et C et passant par P
Aire(ABC) max <=> marginal de (D) sur AP
Si on construit le lieu du marginal de (D) quand D varie en passant par P, ce lieu coupe AP en un point S.
La droite (D) associée est la solution. Il "suffit" de tracer ce lieu...

Soit I le pied de la perpendiculaire de O à (D). I est le milieu de BC quand (D) coupe le cercle.
Le pôle Q de (D) est sur cette perpendiculaire.
Comme BC, polaire de Q, passe par P, Q est sur la polaire de P.
Le pôle de (D) est donc l'intersection de la polaire de P et de la perpendiculaire à (D) issue de O.
S est le symétrique de Q par rapport à I : 2.OI = OS + OQ
ou encore OS = 2.OI - OQ = OJ - OQ = QJ en posant OJ = 2.OI
Le lieu de I est le cercle de diamètre OP, le lieu de J est le cercle de centre P de rayon OP.

Le lieu de S est la cissoïde de la polaire de P et du cercle de centre P   de rayon PO

C'est une généralisation de la strophoïde vue précédement : la polaire de P n'est pas un diamètre du cercle.
L'asymptote est la symétrique de la polaire par rapport à O.
Nota : le repère est tourné par rapport au cas précédent.

Tracé du lieu de S
Construire la polaire de P.
Tracer le cercle de centre P passant par O.
Pour chaque point J de ce cercle, OJ coupe la polaire en Q
Tracer OS = QJ

Equation de la cissoïde
Dans ce nouveau repère, P = (-p, 0), la polaire a pour équation x = e = r²/p
Les coordonnées de J sont : 2p.cos²(t), 2p.sin(t).cos(t)
Les coordonnées de Q sont : e, e.tan(t). L'équation paramétrique de la cissoïde est donc :

x = 2p.cos²(t) - r²/p  y = 2p.sin(t).cos(t) - r²/p tan(t)

Application
L'intersection S₀ de ce lieu avec AP donne la solution :
BC est la perpendiculaire de P à OS₀.
Il y a généralement 3 points d'intersection. La perpendiculaire à OS issue de P coupe effectivement le cercle si le point I est dans le cercle. C'est à dire que seule la partie de la cissoïde du même côté que O de la polaire convient. Et même le maximum absolu est sur la partie de l'autre côté de O. Les points sur la boucle donnent des maxima locaux.
Ainsi dans cet exemple, S₀ est le maximum, S₁ donne un maximum local et S₂ ne convient pas (BC ne coupe pas le cercle)