Les gardiens du parc

Un jardin public triangulaire possède une allée qui en fait le tour, et trois autres rejoignent les angles au kiosque.
Trois gardiens font leur ronde dans ce parc. Chacun a choisi un parcours, toujours le même, empruntant un côté du parc et deux allées centrales.
Ils avancent d'un pas égal et régulier, et se retrouvent à chaque ronde au kiosque. Ou est le kiosque ?

Coupons chaque côté en deux morceaux et déplions les pour donner les points U, V, W avec AF = AU = AD.
Les points D, F et U sont sur un cercle de centre A. Et de même pour les autres sommets.
Ces cercles sont tangents deux à deux en D, E et F. (D est un point commun sur la ligne des centres)

Calculons les emplacements de D, E, F.
Le périmètre du parc est AB + BC + AC = 2×(AD + BE + EC) = 2×(AD + BC).
Donc AU = AD = AF = (AB + AC - BC)/2 = p - a, en appelant a = BC, b = AC, c = AB et p = (a + b + c)/2 le demi-périmètre de ABC.
Et de même pour les autres BV = BD = BE = p - b et CW = CE = CF = p - c.
Les points D, E, F existent donc toujours et sont parfaitement déterminés, ainsi donc que les cercles (A), (B) et (C).

PA + AD + DB + BP = PU + PV est le trajet du premier gardien.
De même PV + PW et PU + PW le trajet des deux autres gardiens.
Ces trajets étant égaux, PU = PV = PW. Donc U, V, W sont sur un cercle de centre P.
Ce cercle est alors tangent en U, V, W aux trois cercles précédents. (U est un point commun sur la ligne des centres)

Le kiosque est le centre du cercle tangent aux trois cercles de centres A, B, C de rayons p - a, p - b, p - c.

Ce point s'appelle le point de Soddy extérieur du triangle ABC.
Il existe en effet un "point de Soddy intérieur", centre de l'autre cercle tangent aux trois cercles (A), (B), (C).
Le rayon des cercles tangents à 3 cercles donnés tangents deux à deux est donné par la formule de Descartes :

2(1/r1² + 1/r2² + 1/r3² + 1/R²) = (1/r1 + 1/r2 + 1/r3 + 1/R)² ou R = r1r2r3/ (r1r2 + r2r3 + r1r3 ± 2√( r1r2r3(r1 + r2 + r3)) )

Le signe - correspond au cercle de Soddy extérieur, le signe + au cercle de Soddy intérieur.

Si le triangle ABC est trop "applati", le cercle de Soddy extérieur ne contient pas les trois cercles (A), (B), (C) et le problème est impossible. (les deux valeurs de R sont positives).
Et aussi, si le point P est extérieur au triangle, la solution de notre problème n'est pas convenable. Le triangle doit être "presque équilatéral".

Application numérique : a = 800, b = 850, c = 900
r₁ = p - a = 475, r₂ = p - b = 425, r₃ = p - c = 375, R = - 923.3987...
La valeur négative de R indique que le cercle entoure les trois autres.
La distance PA = |R| - (p-a) = 448.3987..., PB = 498.3987..., PC = 548.3987...

A quelle vitesse marchent-ils s'ils font leur ronde en 1/2 h ?
Le trajet d'un gardien est 2R, sa vitesse est donc de 3.69359... km/h.