Triangle Max II

Une ellipse d'axes portés par Ox et Oy est définie par deux points A et B.
Condition de l'existence et de l'unicité de l'ellipse ainsi définie.

De façon analytique, l'ellipse est d'équation x²/a² + y²/b² = 1
En portant les coordonnées des deux points A et B dans cette équation, on obtient un système linéaire de deux équations à deux inconnues 1/a² et 1/b². Pour simplifier, quitte à remplacer A B par des symétriques par rapport aux axes, on peut imposer A et B dans le premier quadrant x,y≥0
Le système aura une solution unique si le déterminant de ce système est non nul soit x_A²y_B² ≠ x_B²y_A²
x_A²y_B² = x_B²y_A² exprime que OAB alignés ou que les pentes de OA et OB sont opposées, c'est à dire que Ox est bissectrice de AOB.
Les solutions 1/a² et 1/b² devant être >0, on obtient les critères a² = (x_Ay_B - x_By_A)/(y_B - y_A) > 0 et b² = (y_Ax_B - y_Bx_A)/(x_B - x_A) > 0 et finalement AB pas parallèle aux axes (y_B ≠ y_A etc) et même, pente de AB négative. Le premier critère devient alors redondant et

A et B étant ramenés dans le 1er quadrant, l'ellipse existe et est unique si   AB non parallèle aux axes et pente de AB négative

On peut alors construire (à la règle et au compas) les sommets, foyers etc de l'ellipse.
L'ellipse est la transformée par affinité de son cercle principal. Soit I l'intersection de AB avec Ox. Les points AB sont transformés des points A'B' du cercle principal et A'B'I sont alignés. Le milieu M de AB est le transformé du milieu M' de A'B' et puisque A'B' est une corde du cercle principal, OM' _|_ A'B'.
Il est alors aisé de construire M' : Le cercle de diamètre OI coupe la parallèle à Oy issue de M en M'. On en déduit immédiatement A' et B', intersections de IM' avec les parallèles à Oy de A et B, et donc le cercle principal. Le sommet V sur Oy s'obtient en appliquant l'affinité de rapport HA/HA' au point V' du cercle principal sur Oy. (Ici on a laissé B dans le second quadrant sans perturber la construction)

Ayant le cercle principal et les sommets de l'ellipse, les foyers s'en déduisent par la relation OF² = a² - b² = OU² - OV².
Enfin selon les points A et B, ceci construit le cercle principal ou le cercle ayant pour diamètre le petit axe de l'ellipse, il suffit d'intervertir x et y dans ce cas, ou de considérer une affinité de rapport inverse.

point C de l'ellipse avec Aire(ABC) max

Le lieu de tous les points C avec Aire(ABC) donnée est une droite parallèle à AB, à distance h avec Aire = AB.h/2. Les points C sur l'ellipse donnant ABC d'aire donnée sont les intersections d'une telle parallèle à AB avec l'ellipse. L'aire maximale sera obtenue quand cette droite sera la plus "éloignée" possible de AB. Les points d'intersection sont alors confondus et la droite est tangente en C à l'ellipse.

L'aire est maximale quand la tangente en C est parallèle à AB

Il y a bien entendu deux solutions, de part et d'autre de la droite AB, l'une est un maximum local. Le maximum absolu est celui du même côté de AB que O.

On peut construire directement le point C, étant donnés les foyers et les axes de l'ellipse. Traçons tout d'abord le cercle directeur de centre F et de rayon FE, E étant le symétrique de F' par rapport au sommet D de l'ellipse.
Soit m un point courant de ce cercle. La médiatrice hp de mF' coupe mF en p, pF' = pm et donc pF+pF' = Fm = cte, le point p est sur l'ellipse. De plus hp est tangente à l'ellipse en p (bissectrice extérieure des rayons vecteurs). Ceci donne la construction cherchée :
Tracer la perpendiculaire à AB issue de F', elle coupe le cercle directeur en M, du même côté de AB que O.
La médiatrice de MF' coupe MF en C avec la tangente en C, étant cette médiatrice, parallèle à AB.

Utilisation de l'affinité

Une autre construction est possible, utilisant la remarque suivante, qui nous sera très utile dans le second problème :
Le rapport des aires est conservé dans une affinité. En effet toutes les aires sont simplement multipliées par le rapport d'affinité. En conséquence :

Le point C est l'image du point C' du cercle principal avec A'B'C' d'aire maximale

Mais ce problème est trivialement résolu dans un cercle, puisque C' est l'intersection du cercle et de la médiatrice de A'B'. D'où la construction :

La médiatrice OM' de A'B' coupe le cercle principal en C', du côté de O. C est l'image de C' dans l'affinité de rapport HA/HA'.

M et N sur l'ellipse avec Aire(PMN) max

La remarque précédente sur l'affinité sera ici très utile, puisque le problème avec un cercle a déjà été étudié, en long en large et en travers ! (triangle max). Il suffit donc de transformer tout l'énoncé par l'affinité transformant l'ellipse en son cercle principal, d'effectuer la construction des points M' et N' sur le cercle principal à partir du point P', et de ramener ces points sur l'ellipse par l'affinité inverse.
Donc construire P', image de P. OH = OP'/4, OT à 45° de OP' et K projection de T sur un rayon perpendiculaire à OP'. Le cercle de centre H de rayon HK coupe OP' en I. La perpendiculaire en I à OP' coupe le cercle principal en M' et N'. Retransformer M' en M et N' en N par affinité.
(Détail sur cette construction de M'N' dans triangle max #0)

La variante avec contrainte sur MN de direction donnée ou MN passant par un point donné Q se résoud de même en transformant «MN passant par Q» en «M'N' passant par Q'» par affinité, et la construction correspondante du triangle max dans un cercle. Rappelons que si PQ n'est pas tangent à l'ellipse, MN n'est généralement pas constructible à la règle et au compas. (voir cas du cercle).

parabole et hyperbole

L'existence des branches infinies conduit à un triangle max d'aire infinie !
Toutefois il y a deux solutions : la solution infinie et un "maximum local".
La transformation d'une parabole ou d'une hyperbole en un cercle ou une ellipse n'est pas une affinité mais une projection centrale. Celle-ci ne conserve malheureusement pas grand chose, en particulier pas les aires ni même le rapport des aires (même pas les rapports de deux segments d'une même droite). Il faut trouver autre chose...
La construction directe d'une tangente de direction donnée à partir du cercle directeur (hyperbole) ou de la directrice (parabole) marche encore. Ceci permet de résoudre la recherche de C avec Aire(ABC) maximum local. La construction avec l'hyperbole étant quasiment identique à celle avec l'ellipse, nous donnerons ici le cas de la parabole, définie par son foyer F et sa directrice (D).

Etant donné un point h courant sur la directrice (D), la médiatrice de Fh coupe la perpendiculaire à (D) issue de h en m. mF = mh et donc m est sur la parabole, et de plus la médiatrice est la tangente en m. D'où la construction : Une perpendiculaire à AB issue de F coupe la directrice (D) en H. La médiatrice de FH coupe la perpendiculaire à (D) issue de H en C qui est le point cherché.

Nota : La détermination de la parabole par son axe et deux points A et B est possible à la règle et au compas si la distance des deux points à l'axe est différente et AB non perpendiculaire à l'axe.
Un petit exercice... Solution :

Et aussi quand la conique est une hyperbole. Solution :