Triangle équilatéral inscrit - compléments
Nous avons vu dans le problème parent comment générer tous les triangles équilatéraux inscrits dans ABC.Une autre façon de construire "d'un coup" la famille complète de tous ces triangles est obtenue à partir des "centres isodynamiques" de ABC.
Cela nous donnera une autre construction du triangle équilatéral inscrit minimal.
Citons tout d'abord quelques théorèmes.
(un) théorème de Miquel
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Soient U,V,W trois points quelconques sur les côtés de ABC.
Alors les trois cercles circonscrits à AVW, BUW et CUV sont concourants en un point Q. Inversement étant donné un point Q, on peut construire une infinité de tels cercles passant par Q et définissant une famille de triangles UVW inscrits dans ABC. (en choisissant U et construisant V,W comme seconde intersection de AB et AC avec les cercles BQU et CQU par exemple). - Les angles UPV, VPW et UPW sont constants (= π-C, π-A, π-B)
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QUCV cocycliques : (QU,QV) = (CU,CV), de même QVAW cocycliques : (QV,QW) = (AV,AW), donc (QU,QW) = (CU,CV) + (AV,AW) = (CB,CA) + (AC,AB) = (BC,BA) et donc QUBW cocycliques.
Réciproquement si (QU',QV') = (CB,CA) etc...
La première propriété est immédiate et traduit les angles précédents.
(V'Q,V'U') = (CQ,CU') = (CQ,CB) et donc le triangle U'V'Q reste semblable à UVQ, dans une similitude de centre Q (point fixe)
De même pour les autres, et donc pour le triangle U'V'W' entier, semblable à UVW.
(QA,QB) = (QA,AB) + (AB,QB) = (QV,VW) + (UW,UQ) = (QV,QU) + (UW,VW) = (CV,CU) + (UW,VW) = (CA,CB) + (UW,VW)
Dans l'applet ci-dessus A,B,C,U,V,W sont déplaçables, et le point vert définit l'angle de la similitude UVW → U'V'W' (Cliquer sur le bouton U'V'W' pour le faire apparaître)
Centres isodynamiques - définition
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Cercles d'Apollonius :
Soient X,Y,Z,X',Y',Z' les pieds des bissectrices de ABC. Les cercles de diamètres XX', YY', ZZ' sont appelés cercles d'Apollonius de ABC. Ils ont deux points communs appelés centres isodynamiques de ABC. |
(bien entendu ces cercles passent par le sommet opposé !)
B est intérieur au cercle (XX') et C extérieur à ce cercle
C est intérieur au cercle (YY') et B est sur ce cercle.
Les cercles (XX') et (YY') sont donc sécants.
Si R est un point d'intersection de ces deux cercles :
RA/RB × RB/RC = RA/RC est ainsi CA/CB × AB/AC = BA/BC et R est donc sur le troisième.
Théorème :
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Le triangle podaire d'un centre isodynamique est équilatéral.
Les centres isodynamiques sont les seuls points dont le triangle podaire est équilatéral. |
Les cercles d'Apollonius sont les lieux des points dont le triangle podaire est isocèle : (Point P variable sur le cercle (XX') dans l'applet)
U' et V' sur le cercle de diamètre PC, donc U'V' = PC.sin(C)
U' et W' sur le cercle de diamètre PB, donc U'W' = PB.sin(B)
U'V'/U'W' = PC/PB × sin(C)/sin(B) = PC/PB × AB/AC = 1
Dans l'applet, la forme initiale aplatie de ABC est choisie pour montrer les cercles d'Apollonius.
Bien entendu A,B,C sont librement déplaçables, mais alors les cercles (et le point P dessus) peuvent sortir de la figure.
Déplacer C pour mieux voir les triangles podaires.
Les points R et R' sont échangés si ABC est orienté dans l'autre sens.
Si ABC est (presque) isocèle, un des cercles d'Apollonius dégénère en la médiatrice de la base.
Ce cercle devient alors très imprécis dans l'applet.
Centre isogonal - constructions
Le centre isogonal S est le point d'où on voit les côtés de ABC sous des angles égaux (donc égaux à 120° mod 180°).
Nous avons déja rencontré ce point : C'est le point de concours des cercles circonscrits aux triangles équilatéraux construits sur les côtés de ABC !
Théorème (dit de Napoléon) :
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Soient ABC', BCA' et ACB' les triangles équilatéraux sur les côtés de ABC et extérieurs.
AA', BB', CC' sont concourantes en le centre isogonal S. |
Théorème :
| Le centre isogonal et le centre isodynamique correspondant sont conjugués isogonaux. |
Soit UVW le triangle podaire de R, donc équilatéral. CURV cocycliques etc...
Donc [Miquel] : (RA,RB) = (CA,CB) + (UW,VW) = (CA,CB) + 60°
Soit T le conjugué isogonal de R.
(TA,TB) = (TA,AB) + (AB,TB)
(RA,RB) = (RA,AB) + (AB,RB) = (AC,TA) + (TB,BC) (R et T isogonaux)
(TA,TB) + (RA,RB) = (AC,TA) + (TA,AB) + (AB,TB) + (TB,BC) = (AC,BC)
et par conséquent (TA,TB) = -60° = 120° etc. et T est le centre isogonal S.
Ceci donne une construction "simple" du centre isodynamique, sans avoir besoin de construire les cercles d'Apollonius.
Construisons les triangles équilatéraux ABC', BCA' et ACB' extérieurs à ABC.
Puis les droites Aa", Bb" Cc" avec les angles BAa" = CAA' etc...
Ces droites concourent au point isodynamique R.
(bien entendu, on construit uniquement A', Aa", B' et Bb")
Conclusion
Construisons ainsi le centre isodynamique R de ABC et son triangle podaire UVW.
AVRW sont cocyliques (angles droits) et de même BURW et CURV
R est donc le point de Miquel pour UVW.
En considérant les droites RU, RV, RW comme un système rigide, libre de tourner autour de R,
les intersections de ces droites avec les côtés de ABC forment une famille de
triangles U'V'W' semblables à UVW [Miquel] donc équilatéraux.
On génère ainsi deux familles de triangles équilatéraux inscrits et "exinscrits",
les triangles exinscrits étant ceux générés par la méthode précédente, mais avec des triangles
équilatéraux construits sur ABC vers l'intérieur de ABC : des triangles avec des "angles de 120° " !
(C'est à dire à partir de l'autre centre isodynamique R').
Nota : Dans l'applet, R et R' sont échangés quand ABC est dans l'autre sens.
Le point vert déplaçable définit la rotation du triangke courant U'V'W'.
Bien entendu la taille du triangle équilatéral inscrit sera minimum quand la distance RU' sera minimum !
(puisqu'ils sont tous semblables, de centre de similitude R, et donc UV/RU = cte)
| Le triangle équilatéral inscrit minimal est le triangle podaire du centre isodynamique |
L'applet ci dessus construit en fait R autrement ;
A' symétrique de A / (BC) etc
A'' triangle BCA'' équilatéral direct etc
R = intersection de A'A'', B'B'', C'C''
