Segments - solution

Etant donné un triangle ABC (avec BC/2 < AC < 2BC)
Trouver D sur BC et E sur AC avec AE = DE = BD, en utilisant la règle et le compas fermant.

On peut prendre le problème à l'envers : choisissons une distance d quelconque, et construisons un triangle A'B'C', semblable à ABC, avec B'D' = D'E' = E'A'.
La similitude ABC → A'B'C' transforme alors D'E' en DE.

Copier d sur BC et AC pour obtenir BD' = AE" = d.
Un triangle semblable à ABC est obtenu en imaginant que la droite AC glisse le long de AB, et en cherchant la position pour laquelle E"D' devient = d.
Pendant cette translation, le lieu du point E" est une parallèle à AB. Comme le lieu des points à distance d de D' est un cercle, la position du point E' cherché est l'intersection de cette droite et de ce cercle.

Choisir le point d'intersection qui est à l'intérieur de l'angle ABC pour avoir D'E' intérieur au triangle A'B'C'. L'autre point d'intersection E'2 donnerait DE extérieur, ou coupant les côtés de ABC.

Nous avons donc construit un triangle A'B'C' semblable à ABC, dans lequel les points D' et E' satisfont B'D' = D'E' = E'A' ( = d )
Le centre d'homothétie est B = B', et donc l'image E de E' est sur la droite BE'. Comme elle doit aussi être sur AC, c'est le point d'intersection.
L'image de la droite D'E' est une droite parallèle DE : D est le point d'intersection de BC et de la parallèle à D'E' issue de E.
Naturellement, on peut choisir une valeur particulière de d pour simplifier la construction, par exemple d = AC et alors E" ≡ C. Ou la construction peut être faite de l'autre côté : une parallèle de D' et un cercle centré en E", avec A comme centre d'homothétie.
Si on ne se limite pas à DE intérieur à ABC, il peut y avoir jusqu'à quatre solutions, avec les points E' et E'2 ci-dessus, mais aussi en choisissant E" de l'autre côté de A sur AC, si le triangle s'y prète c'est à dire si un angle est suffisemment obtus.

Et maintenat le problème du compas fermant.
Un compas fermant (collapsing compass) reste ouvert uniquement pendant le tracé d'un cercle. Il se referme à un rayon nul dès qu'il quitte la feuille de papier. Ainsi il est impossible de "copier d sur AC et BC" comme ci-dessus. Un compas fermant ne peut pas tracer un "Cercle de centre donné O et de rayon donné MN". La seule chose que l'on peut faire avec un compas fermant est de tracer un "Cercle de centre donné O et passant par un point donné P".
Toutes les constructions légales avec un compas ordinaire peuvent être traduites en utilisant un compas fermants, mais sont juste en général plus compliquées.
Ici on peut choisir par exemple d = AB de sorte que le cercle de centre B et de rayon d (pour obtenir D') devient le cercle de centre B passant par A etc...
L'application directe de la construction ci-dessus avec un compas fermant est mise en oeuvre dans l'animation JavaSketchpad ci-dessous, mais est assez fastidieuse (à cause de la construction des parallèles)

Nous allons donner maintenant une bien meilleure solution due à João Pedro Afonso.

Autre construction

Comme ci-dessus nous allons construire un triangle A'B'C' semblable à ABC, avec B'D' = D'E' = E'A' = d pour un d quelconque, puis choisir d pour simplifier la solution.
Considérant B' ≡ B, construire B'D' = d. Alors E' est sur le cercle C1 de centre D' et de rayon d. Une translation de ce cercle parallèlement à AC, d'une distance D'F = d donne le cercle C2 qui coupe AB en A', et le point correspondant E' dans la translation inverse C2 → C1 est à la distance d de A' (par translation) et à la distance d de D' (sur C1). Donc A'E'D'B' donne le triangle homothétique cherché.
On finit de la même façon que précédemment en traçant BE' pour obtenir E, puis D.

On est encore embêté avec les parallèles dans notre quête de la solution avec un compas fermant... mais...

Choisissons D' en C, c'est à dire d = BC.
F est alors sur AC lui même, évitant la construction de la première parallèle.
E' est obtenu à partir de A' non pas en traçant une parallèle, mais simplement avec A'E' = FD' = A'F.
Adieu la parallèle.
La dernière construction de parallèle était DE // D'E', mais ici aussi elle peut être construite par DE = EA.
Et finalement la construction simple annoncée, avec un compas fermant :

  1. Tracer le cercle C1 de centre C passant par B, coupant la demi-droite CA en F
  2. Tracer le cercle C2 de centre F passant par C, coupant la droite AB en A' (et A'2).
  3. Tracer le cercle C3 de centre A' passant par F. L'autre point d'intersection avec C1 est E'.
  4. La droite BE' coupe AC en E, puis le cercle de centre E passant par A donne D sur BC.

Choisir A'2 donne DE coupant les côtés, ou extérieur à ABC.
Enfin pour toutes ces constructions, un autre jeu de solutions peut être obtenu en partant du point F2, autre point d'intersection du cercle C1 avec la droite AC (ou sa parallèle).

Choisir le côté BC ≥ AC pour un tracé plus précis des points d'intersections, c'est à dire E' pas trop près de F et le cercle (E,A) loin d'être tangent à BC. Sinon (BC < AC) effectuer la construction de l'autre côté, en échangeant B↔C et D↔E.

Quand l'angle C est petit, on ne peut éviter une imprécision dans le tracé de D à partir du cercle (E,A). En pareil cas la méthode DE // CE' est préférable :
Tracer le cercle(E',E), coupant la droite E'C en M
Tracer le cercle(M,E), coupant le cercle précédent en P
La droite PE' coupe le premier cercle (E',E) en Q
La droite EQ est parallèle à E'C.
(Bien sûr, avec un compas ordinaire, ce serait plus simple...)

Animation JavaSketchpad (patience pour le chargement et l'initialisation de l'applet)

 

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