Segments - 2

Etant donné AB, trouver un triangle ABC, avec D sur BC et E sur AC tels que AE = DE = BD et DE _|_ BC.
Lieux géométriques de C,D,E ?

Comme DE=DB et l'angle EDB est droit, BE = AE√2
Le lieu de E est donc un cercle (cercle d'Apollonius) centré en F sur la droite AB, AF=AB, de rayon FG = AB√2, construit sur AG = AB. C'est à dire que les deux points d'intersection I et J divisent AB dans le rapport IA/IB = JA/JB = 1/√2.

D est transformé de E par une similitude de centre B, de rapport 1/√2, et d'angle -45°
Le lieu de D est donc le cercle tangent en A à AB et de rayon AB, centré en G.

Ceci donne une méthode facile de construction de triangles ABC convenables :
Choisir un point E quelconque sur le cercle, puis construire le point D correspondant. C est le point d'intersection de BD et AE.

Lieu de C

L'obtention d'une équation paramétrique du lieu Γ de C est fastidieuse, mais facile :
Plaçons l'origine des coordonnées en B. En posant AB = a et r = a√2, le lieu de E est x_E = r.cosθ - 2a, y_E = r.sinθ
La similitude donne D : x_D = (x_E + y_E)/2, y_D = (-x_E + y_E)/2.
C(x,y) est alors sur la droite BD : x = λx_D, y = λy_D pour un certain λ
A,E,C étant alignés : (x - x_A)(y_E - y_A) = (y - y_A)(x_E - x_A), c'est à dire (x + a)y_E = y(x_E + a)
En résolvant cette dernière équation en λ et en reportant λ dans C(x,y) on obtient le lieu de C, après pas mal de simplifications trigonométriques, et en posant t = 2u.

x = a√2.sin(2u)sin(u - π/8) / (√5.sin(u+α-π/8))  y = -a√2.sin(2u)sin²(u + π/8) / (√5.sin(u - π/8)sin(u+α-π/8))   avec α = arctan(1/2) ≈ 26.565051177° soit α-π/8 ≈ 4.065051177°

Il y a deux asymptotes (x et/ou y → ∞) :
Pour t = π/4 mod 2π, x→0, y→∞, asymptote verticale
Pour t = -2α + π/4 mod 2π ≈ -8.130102354°, asymptote de pente -α

Animation JavaSketchpad (patience pour le chargement et l'initialisation de l'applet)