Triangle inscrit

Inscrire un triangle donné dans un autre triangle donné. ( construction à la règle et au compas)
C'est à dire que les sommets du petit sont sur chacun des côtés du grand triangle (un sommet sur chaque côté).

Nous allons étudier tout d'abord une stratégie générale, et quelques propriétés associées.

Considérons un plan glissant (π) attaché au triangle DEF.
Déplaçons ce plan de sorte que D et E glissent le long des côtés CA et CB du grand triangle ABC.
La propriété clé est que pour tout point fixé sur (π), par exemple F, le lieu de F sur le plan (ABC) est une ellipse :
généralisation du Théorème de La Hire.

La solution est donc "simplement" de trouver les points d'intersection du côté AB avec l'ellipse lieu de F.

Dans l'applet Geogebra, déplacer les points A, B, E, F pour changer les triangles.
Déplacer le point vert I pour déplacer DEF dans ABC.
Bien que cette construction soit possible, il y a beaucoup, plus simple !

Envisageons plutôt de construire le plus grand triangle ABC "circonscrit" au plus petit DEF.
C'est à dire construire ABC tel que AB passe par F, BC par E et AC par D.
Tout d'abord construisons un triangle quelconque A'B'C' simplement semblable à ABC avec la propriété attendue.
Puis ajustons cette construction de façon à avoir A'B' = AB.

Pour construire un triangle générique A'B'C', remarquons que l'angle A' est constant, donc A' est sur un cercle passant par D et F (angle inscrit A' dans ce cercle).
De même pour B' sur un cercle passant par E et F, puis C' sur un cercle passant par D et E.
(noter que ces cercles ont un point commun, puisque la somme des angles de ABC = 180°)
La construction d'un triangle A'B'C' générique est donc le simple choix d'un point A' sur son cercle, puis complèter le triangle.

Pour construire le cercle lieu de A, tracer par exemple l'angle DFx = A.
La perpendiculaire en F à Fx coupe la médiatrice de DF en I, centre de ce cercle
Les deux autres cercles sont construits de même.
Noter que le tracé du troisième cercle est inutile : C' est simplement l'intersection de A'D et B'E.

Le problème devient alors construire une sécante AFB commune aux cercles (A) and (B) et de longueur donnée = AB.

Soient H et K les milieux de FA et FB. Alors HK = AB/2 (bouton "prop" dans l'applet)
La parallèle JM = HK passant par le centre J donne JM = AB/2 et JM _|_ IM.

D'où la construction :
Le cercle de diamètre IJ et le cercle de centre J de rayon = AB/2 donné se coupent en M.
La parallèle FA à JM issue de F donne la sécante AB de longueur voulue
Il y a deux solutions (s'il y en a) M' → A'B' et M" → A"B".

Noter que ces deux solutions ne donnent pas forcément des solutions au problème d'origine, car D,E,F peuvent être seulement sur les droites AB,BC,CD et non sur les segments des côtés, donnant un triangle DEF "extérieur" à ABC.
L'applet recopie DEF dans le triangle ABC d'origine s'il est intérieur.

En changeant quel côté est dans quel angle, on obtient 6 constructions différentes, chacune pouvant donner jusqu'à 2 solutions. Soit en tout jusqu'à 12 solutions.

Cas particuliers plus simples

Quand l'angle ACB + angle DFE = 180°, la construction ci-dessus devient inutilement compliquée.
A la place, inscrivons directement DEF dans ABC.
Considérons de nouveau le déplacement de DEF avec D et E glissant le long de AC et BC, comme dans l'ellipse lieu de F discutée ci-dessus. Mais ici il n'est plus question d'ellipse.
Comme CDFE cocycliques (angles opposés de somme 180°), angle FCB = angle FDB = constante, donc le lieu de F est une ligne droite.
Le cercle circonscrit étant simplement le cercle circonscrit à DEF, est un cercle de diamètre constant. La distance CF maximale est donc simplement ce diamètre, limitant le lieu de F au segment CK (et de l'autre côté, mais inutile puisqu'on cherche l'intersection avec AB).

Deux triangles rectangles

Avec C = F = 90°, le centre I du cercle circonscrit à CDFE est le milieu de DE, et la distance maximale de C à F est alors ce diamètre = DE. D'où la construction simple :

Construire CK = DE, avec l'angle BCK = <)D.
C'est à dire construire le triangle CKH égal à DEF.
CK est le lieu de F (vers AB). Il coupe éventuellement AB en F.
Le cercle de centre F et de rayon EF = HK coupe éventuellement BC en E1 et E2.
Les perpendiculaires issues de F à FE1 et FE2 coupent AC pour donner sans ambigüité D1 et D2.
Les solutions étant valables seulement si Di et Ei sont sur les côtés (segments) AC et BC.

En échangeant D et E on obtient 2 autres solutions à partir de CK'H' égal à EDF, soit en tout jusqu'à 4 solutions.
D'autres solutions (jusqu'à 8) avec l'angle droit du petit triangle pas sur l'hypothénuse du grand sont obtenues par la méthode générale.