Sangaku again

Un cercle (AB) de diamètre AB
Un cercle (AC) de diamètre AC, C quelconque sur le diamètre AB
Le triangle isocèle BCD, D sur le premier cercle
Et maintenant la magie :
Le centre du cercle tangent à (AB), (AC) et au côté CD est toujours sur la perpendiculaire à AB en C !
Dans l'applet le bouton "False" place volontairement le point D sur une position fausse, pour éviter de "croire" la propriété vraie avant de l'avoir démontrée !
A,B et C sont déplaçables

Le principe de la démonstration consiste à considérer le cercle centré sur la perpendiculaire et tangent aux cercles (AB) et (AC), mais pas forcément à CD. Et à démontrer que ce cercle est tangent à CD.

Construisons déja un tel cercle (construction en vert) :
Une inversion de centre C et conservant le cercle (AB) inchangé (c'est à dire de puissance -CA.CB < 0) transforme le cercle (AC) en une droite, passant par l'image de A c'est à dire B : la perpendiculaire à AB en B.
L'image du cercle cherché est alors un cercle centré sur la perpendiculaire en C, et tangent au cercle (AB) et à la perpendiculaire en B.
Un tel cercle est facile à construire : le cercle de centre O de rayon OC' = OC + BC, coupe la perpendiculaire en C en le point I' centre du cercle cherché.
Les points de contact S' et T' sont alors construits.
Ce cercle est renvoyé par l'inversion en le cercle de centre I et tangent en S et T :
S et T sont construits en renvoyant S' et T' par les droites issues de C
OT coupe alors la perpendiculaire en B en le centre I cherché.

Après cet apparté, passons à la démonstration.
Soit CE la tangente issue de C au cercle (du bon côté), il s'agit de démontrer donc que les droites CD et CE sont confondues.

Soit R = AB/2 = OA le rayon de (AB), r = AC/2 = JS le rayon de (AC), ρ = IS le rayon du cercle (I) et t = IC la distance de I au diamètre.

On montre alors facilement les relations suivantes :
OC = 2r - R, OI = R - ρ, IJ = r + ρ
Puis Pythagore dans CIO et CIJ :
t² + r² = (r + ρ)² ou t² = ρ² + 2rρ
t² + (2r - R)² = (R - ρ)²
En substituant t² et en résolvant en ρ = 2r(R - r)/(R + r) puis enfin en substituant dans t²/ρ² = (ρ² + 2rρ)/ρ² = 1 + 2r/ρ

t²/ρ² = IC²/ρ² = 2R/(R - r)

Considérons maintenant la tangente CE au cercle : IE = ρ et dans le triangle rectangle CIE       IC²/IE² = 2R/(R - r) 

Pour l'instant on ne sait pas si E est sur CD ou pas !
Considérons les triangles CDM et ODM
CM = CB/2 = R - r, OM = OC + CM = r et OD = R
en posant h = DM et d = CD, Pythagore encore donne :
h² + (R - r)² = d²     et     h² + r² = R²
L'élimination de h donne CD² = d² = 2R(R - r), donc  CD²/CM² = 2R/(R - r) 

Par conséquent les triangles CMD et IEC sont semblables, les angles CDM et ICE sont donc égaux,
donc aussi les angles ICE et ICD (car CI // DM) et finalement :

 les droites CD et CE confondues . CQFD.

Annexe : un autre cercle aussi !

On peut s'intéresser aux cercles tangents à (AB), (AC) et à la droite CD
Il y en a 6 en tout ! Parmi ces cercles un autre (fatalement symétrique) est aussi centré sur la perpendiculaire en C à AB.
Démonstration semblable pour ce cercle là.
La construction de 4 de ces cercles passe aussi par une inversion (c'est un cas particulier de "DCC" du problème d'Apollonius)
Les deux autres sont toutefois construit directement. L'inversion les transformerait en cercle-droite, tangents aux images des deux autres en le point à l'infini !

L'applet suivante montre cette construction des 6 cercles.

Considérons l'inversion de pole A qui échange B et C
Cette inversion transforme le cercle (AB) en la perpendiculaire à AB en C, et le cercle (AC) en la perpendiculaire en C
La droite CD est transformée en un cercle centré sur la perpendiculaire à CD en A
Il passe par le pole A et l'image de C qui est B, donc est centré sur la médiatrice de AB, d'où la construction de ce cercle (J, JA)

Les images des cercles cherchés sont alors des cercles tangents à ce cercle (J) et aux deux perpendiculaires à AB en B et C, donc sont centrés sur la médiatrice de BC, et ont pour rayon ρ' = BC/2
Leur centre est donc sur des cercles concentriques à (J) de rayon JA ± ρ'
D'où la construction immédiate de ces 4 cercles (I'1) (I'2) (I'3) (I'4) et de leur points de contact.

Les images de ces cercles par l'inversion sont construits :
Le centre est sur la droite AI'
Le point de contact avec CD est l'intersection de CD et AE', le centre est donc sur la perpendiculaire à CD en ce point de contact E
Les points de contact avec (AB) et (AC) sont les intersections avec les droites AS' et AT'
Nota : les deux cercles (I2) et (I'2) sont presque confondus, déplacer C pour voir ces cercles se séparer d'avantage.

Le cercle (I3) est notre deuxième cercle centré sur la perpendiculaire à AB en C.
On peut remarquer que par inversion, les cercles (I'1) et (I'3) sont orthogonaux à l'image de cette perpendiculaire qui est ... le cercle (AB)

Quant au deux derniers cercles, il sont tangents à (AB) et (AC) en A !
Il sont donc centrés sur la droite AB et leur construction est élémentaire :
Les deux tangentes, CD et la perpendiculaire à AB en A, se coupent en P.
Les bisectrices de l'angle P coupent la droite AB en les centres I5 et I6 de ces cercles.
I6 très loin à gauche, zoomer un max en déplaçant A et B pour voir cette construction de I6.
Nota : de toute façon, la construction générale par inversion donne ausi ces deux cercles là, mais de façon inutilement compliquée, leur image par l'inversion est les deux tangentes au cercle (J) image de CD qui sont perpendiculaires à AB (donc "tangentes" aux perpendiculaires en B et C en leur point à l'infini)