L'échelle - Résolution

Soit x=OA la distance du pied de l'échelle au mur, y=OB la hauteur, L=AB la longueur de l'échelle et a=HP le côté de la caisse.
Les triangles OAB et HAP sont semblables : y/x = (y-a)/a, d'où on tire xy = a(x+y)
L² = x²+y² = (x+y)² - 2xy et en posant s = x+y : L² = s² -2as
équation du second degré en s qui donne s = a ± √a²+L²
et comme s = x+y > x > a, la seule la solution convenable est :

s = a+√a²+L²

x+y=s et xy=as donnent alors x et y solutions de X² - sX + as = 0
et finalement y la plus grande est :

y = (s+√s²-4as )/2 = (a+√a²+L² + √L²-2a²-2a√a²+L² )/2

Soit numériquement y = (1+√10 + √7-2√10 )/2=2,492...m

Construction géométrique

La formule ci-dessus avec uniquement les + - × ÷ et √ est donc constructible à la règle et au compas.

Tracer OK = L sur le sol, et le cercle de centre I de rayon IK = √a²+L²
Ce cercle coupe le mur en E et F : OE, OF = a ± √a²+L²
Sur la perpendiculaire en E à OE, reporter EM = 2 OH = 2a.
Le cercle de centre M de rayon égal à OF coupe le mur en N.
NE² = OF² - 4a² = (a - √a²+L²)² - 4a² = L² - 2a² - 2a√a²+L²
B est donc le milieu de ON.

Enoncés rationnels

Le nombre y trouvé ci dessus est un "horrible" irrationnel bourré de calculs de racines carrées.
Il pourrait être agréable de construire un énoncé où tous les nombres traités seraient rationnels, c'est à dire pratiquement un nombre entier de cm.

x, y et L entiers donne (triangles de Pythagore) : x = m(r²-s²), y = 2mrs, L = m(r²+s²),
avec m, r et s des entiers quelconques, r et s premiers entre eux et de parité opposée.
Posons u = r²-s² et v = 2rs. Donc u et v sont premiers entre eux et la fraction uv/(u+v) est irréductible.
a = xy/(x+y) = muv/(u+v) ne peut être entier que si m est un multiple de u+v.
La plus petite valeur est m = u+v = r²-s²+2rs ce qui conduit à :

x=k(r²-s²+2rs)(r²-s²)  y = 2krs(r²-s²+2rs)  L = k(r²-s²+2rs)(r²+s²)   a = krs(r²-s²)

Où r et s premiers entre eux et de parité opposée, k quelconque

Le plus petit exemple de valeurs entières est r = 2, s = 1, donnant x = 21, y = 28, L = 35, a = 12.
On peut multiplier par k quelconque (par exemple k = 10) pour obtenir une échelle raisonnable de 3,5m
x et y sont très proches l'un de l'autre et l'échelle est un peu "couchée".
Si on veut y>>x, c'est à dire y voisin de L : 2rs ≈ r²+s² soit r-s ≈ 0,
Plus r et s sont proches l'un de l'autre et plus l'échelle sera verticale
r = 3, s = 2 donne déja u = 5, v = 12, m = 17 et :

L = 221, a = 60   x = 85, y = 204

L'inconvénient des énoncés entiers est que les valeurs de l'énoncé (L et a) sont "étranges" :
donner une échelle de 2,21m, pourquoi pas...