Le couloir - Solution

Soient a = BM et b = AN la longueur des échelles se croisant à h = HP
et d = AB la largeur du couloir.
Posons u = AM, v = BN, x = BH et y = AH. On peut alors écrire les relations :
x/h = d/u, y/h = d/v, x + y = d donc 1/h = 1/u + 1/v ou encore uv=h(u+v)
a² = d² + u², b² = d² + v²
a² - b² = u² - v² = (u + v)(u - v)
(a² - b²)² = (u + v)²(u - v)² = (u + v)²((u + v)² - 4uv) = (u + v)²((u + v)² - 4h(u + v))
Soit en posant s = u + v l'équation : (a² - b²)² = s²(s² - 4hs), équation du quatrième degré en s :

s⁴ - 4hs³ - (a² - b²)² = 0

Une fois cette équation résolue : a² + b² = u² + v² + 2d² = (u + v)² - 2uv + 2d² = (u + v)² - 2h(u + v) + 2d² donne la valeur de d :

d= √(a² + b² - s² + 2hs)/2

Le problème est soluble si 1/h = 1/u + 1/v > 1/a + 1/b, puisque bien évidemment u et v sont < a et b !

Application numérique :
Comme la résolution de l'équation du quatrième degré n'est pas quelque chose de sympathique, on peut utiliser une méthode par approximations successives, comme la méthode de Newton :
En partant de s₀ on calcule s_n+1 = s_n - f(s_n)/f '(s_n)

s₀ = a + b
s = (3s⁴ - 8hs³ + (a² - b²)²) / (4s³ - 12hs²)

Avec a = 3, b = 2, h = 1, s₀=5, s converge vers 4,311185197... et d=1,231186...

Un script pour effectuer ces calculs :

Enoncés rationnels

Le nombre d trouvé ci-dessus est un "horrible" irrationnel, il pourrait être agréable de construire un énoncé où tous les nombres traités (a, b, h et d) seraient rationnels, c'est à dire pratiquement un nombre entier de cm.
De u² = a² - d² rationnel, tirons 1/u = q√m où q est rationnel et m entier sans facteur carré
De même 1/v = r√n, 1/h = 1/u + 1/v = q√m + r√n doit être rationnel. Puisque (q,r)>0, cela nécessite m = n = 1, et donc u et v sont aussi rationnels. Et même plus, si a, b, h entiers, u et v aussi.

Choisissons alors arbitrairement deux triplets de Pythagore primitifs x² + y² = z² et x'² + y'² = z'² et soit p le PGCD de x et x', en multipliant le premier triplet par x/p et le second par x'/p :
(xx'/p)² + (yx'/p)² = (zx'/p)² et (x'x/p)² + (y'x/p)² = (z'x/p)²
Posons xx'/p = d/m, yx'/p = u/m, zx'/p = a/m, y'x/p = v/m et z'x/p = b/m pour obtenir un système "d'équations du couloir" avec a, b, u, v, d entiers
h = uv/(u + v) = mxx'yy' / p(xy' + x'y). Soit alors q = PGCD(xx'yy'/p², (xy' + x'y)/p)
En choisissant m = (xy' + x'y)/pq, h est aussi un entier. Tout ceci donne donc des données et une solution entières pour un problème du couloir.

(r,s) entiers arbitraires, premiers entre eux et de parité opposée, de même pour (r',s')
x = r² - s², y = 2rs, z = r² + s² et de même pour x', y', z'
p = PGCD(x,x'), q = PGCD(xx'yy'/p², (xy' + x'y)/p), m = (xy' + x'y)/pq

a = mzx'/p, b = mz'x/p h = xx'yy'/qp² d = mxx'/p
(et aussi u = myx'/p, v = my'x/p)

Par exemple, r = 2, s = 1, r' = 3, s' = 2 donne x = 3, y = 4, z = 5, x' = 5, y' = 12, z' = 13
p = PGCD(3,5) = 1, q = PGCD(720,56) = 8, m = 7
a = 175, b = 273, h = 90 et d = 105 :
Deux échelles de 1,75m et 2,73m se croisent à 90cm du sol dans un couloir de 1,05m de large.

On peut aussi échanger x' et y' soit x = 3, y = 4, z = 5, x' = 12, y' = 5, z' = 13
p = PGCD(3,12) = 3, q = PGCD(80,21) = 1, m = 21
a = 420, b = 273, h = 80 et d = 252

La plus petite possibilité est : a = 70, b = 119, h = 30, d = 56 (u = 42, v = 105)
Obtenue à partir des triplets de Pythagore primitifs (x et y inversés) :
(4, 3, 5) r = 2, s = 1 et (8, 15, 17) r' = 4, s' = 1.
p = PGCD(8,4) = 4 donne d = 8m, b = 10m, u = 6m, a = 17m, v = 15m
donc h = uv/(u + v) = m×6×15/21 = 30m/7 entier si m = 7 (multiple de 7, mais on cherche la plus petite valeur).

Un script pour obtenir de telles valeurs rationnelles
Choisir les valeurs de r, s≠r et r', s'≠r'
Le programme en déduit les valeurs par les formules ci-dessus.