Morceaux - détails

Il est facile de découper un rectangle quelconque en 3 triangles semblables, mais tous de tailles différentes. La découpe échoue s'il s'agit d'un carré. Il faut alors 7 triangles au moins.
Posons x = FQ/QR = tg(α)
AB = AR cos(α), BC = AB cos(α) = AR cos²(α), DE = AR cos⁴(α), RB = AR sin(α), BD = BC sin(α) et DF = ED sin(α). Enfin RF = QR/cos(α)
Soit la condition pour que la découpe fonctionne :
sin(α)(1 + cos²(α) + cos⁴(α)) = 1/cos(α)
Et en tenant compte de cos²(α) = 1/(1 + x²) et sin(α)cos(α) = x/(1 + x²), l'équation :
x⁶ - x⁵ + 3x⁴ - 3x³ + 3x² - 3x +1 = (x³ + x - 1)(x³ - x² + 2x - 1) = 0
dont les seules solutions réelles sont :

x = 0.5698... et x = 0.6823...

Si on supprime les triangles DEF et EFP, l'équation devient sin(α)(1 + cos²(α)) = 1/cos(α), soit :
x⁴ - x³ + 2x² - 2x +1 = 0, qui n'a pas de solution réelle. Les 7 triangles sont donc bien nécessaires dans cette découpe.
Une autre découpe en 7 triangles est possible :

En posant x = tan(α), AG = cos(α), AB = AG sin(α) = cos(α)sin(α) = x/(1 + x²) FC = 1 - x, EF = FC/tan(α) = (1 - x)/x, DE = BD tan(α) = x(1 - x) et finalement : x/(1 + x²) + x(1 - x) + (1 - x)/x = 1 ou encore :
x⁵ - x⁴ + 3x³ - 3x² + 2x - 1 = 0, dont la seule racine réelle est

x = 0.750397...

Ou bien sûr des variantes avec les triangles BDE, EFC et BEC disposés différemment.

Rectangles

Découper un rectangle en rectangles tous semblables.

BC = x, BE = x², GH = 1 + x², DH = (1 + x²)/x = x + 1/x, MN = 2x + 1/x, et finalement NG = (2x + 1/x) / x = 2 + 1/x²
La condition que AMNH soit lui aussi semblable s'écrit alors : (1 + x²) + (2 + 1/x²) = x(2x + 1/x) soit x⁴ - 2x² - 1 = 0 dont la seule solution positive est

x = √(1 + √2) = 1.55377...

Ceci est constructible à la règle et au compas :
BI = BJ = AB = 1
JE = JI = √2 et donc BE = 1 + √2
Le cercle de diamètre AE coupe BI en C : BC² = BA.BE = 1 + √2
Ceci permet de construire les rectangles ABCD et BEFC.
Les rectangles DFGH et AMNH semblables sont alors construits en traçant la parallèle à CE passant par F.

Combien de rectangles au minimum si tous les rectangles ont des dimensions entières ?
Les rectangles 1×2, 2×4, 3×6, 4×8, 7×14, 8×16, 9×18 et 10×20 pavent le rectangle 18×36

Un carré en rectangles

AB = 1, BC = x, BE = x², GH = 1 + x² et FG = (1 + x²)/x = x + 1/x.
AEGH un carré donne 1 + x² = 2x + 1/x soit x³ - 2x² + x - 1 = 0 dont la seule solution réelle est :

x = 1.754878...

Un carré en carrés

Le carré avec le plus petit nombre de morceaux, 21 :

Côté 112, carrés de côtés [50, 35, 27], [8, 19], [15, 17, 11], [6, 24], [29, 25, 9, 2], [7, 18], [16], [42], [4, 37], [33]

Le plus petit carré, de côté 110, mais 22 morceaux :

[60, 50], [23, 27], [24, 22, 14], [7, 16], [8, 6], [12, 15], [13], [2, 28], [26], [4, 21, 3], [18], [17]

Les groupements de côtés correspondent à la description de l'agencement des carrés.
Chaque groupe correspond à une "grappe" de carrés, accrochés sous une même ligne horizontale.
[60, 50] représente les deux carrés supérieurs, la prochaine ligne horizontale regroupe [23, 27] puis la suivante [24, 22, 14], etc... jusqu'au dernier carré [17].

Ceci définit un graphe décrivant l'agencement des carrés.

Une analogie électrique montre ce graphe comme un réseau de résistances :
Considérons une plaque résistante entre deux électrodes matérialisées par les côtés supérieurs et inférieurs.
Chaque ligne horizontale est une équipotentielle, et on peut donc ajouter des électrodes horizontales à volonté sans rien changer aux courants dans la plaque.
Les lignes de courant étant verticales, on peut couper la plaque par des lignes verticales, toujours sans rien changer.
Ceci pour matérialiser les carrés.

Il faut maintenant faire une remarque sur la résistance d'une plaque En appelant e l'épaiseur de la plaque, la résistance d'un rectangle de longueur a et de largeur b est R = ρa/(e×b) soit R = ρ/e × a/b, ne dépend que de la forme du rectangle a/b et non de ses dimensions. Tous les carrés ont donc même résistance ! Ceci est bien connu des concepteurs de circuits intégrés et de résistances en couches minces. Ils ont même inventé une unité spéciale "l'Ohm/carré" Ω/ qui est la résistance d'un carré, quel que soit sa dimension.

Notre plaque est donc considérée comme un réseau de résistances toutes égales reliant des noeuds correspondant aux lignes horizontales. On peut alors appliquer les lois de Kirschoff :
- Loi des noeuds : la somme des courants entrants = somme des courants sortants
- Loi des mailles : la somme algébrique des tensions sur une maille est nulle, ici comme toutes les résistances sont égales, les tensions sont assimilables aux courants, à un facteur R près.

Ceci donne un système d'équations linéaires qu'il suffit de résoudre pour avoir les courants, donc les côtés des carrés.

Un exemple pour illustrer sur ce réseau (pas tout à fait quelconque...) :
Loi des noeuds : I = a + b, a = c + d, c = e + f, d + b = g + k, h = f + g,
(I = e + h + k est redondante)
Loi des mailles : a + d = b, c + f = d + g, e = f + h, k = g + h
Ce qui se résoud en
a = I×7/16 = I×14/32
b = I×9/16 = I×18/32
c = I×5/16 = I×10/32
d = I×1/8 = I×4/32
e = I×9/32
f = I×1/32
g = I×7/32
h = I×1/4 = I×8/32
k = I×15/32

En fixant I = 32, les valeurs des courants (donc les côtés des carrés) sont des nombres entiers. I = 32 définit la largeur du rectangle.
La tension totale aux bornes du réseau est b + k = 33 et définit la hauteur du rectangle.
Et le pavage :

Qui est d'ailleurs le plus petit rectangle parfait (pavé par des carrés entiers tous différents).