Pavages
Pavages avec des pentagones irréguliers.On connaît 14 pavages avec des pentagones irréguliers.
Notons A,B,C,D,E les sommets et angles du pentagone, et les côtés par EA = a, AB = b, BC = c, CD = d, DE = e
Les 14 formes de pentagones correspondent aux conditions suivantes sur les angles et les côtés.
- D + E = π →
- C + E = π, a = d →
- A = C = D = 2π/3, a = b, d = c + e →
- A = C = π/2, a = b, c = d →
- C = 2A = 2π/3, a = b, c = d →
- C + E = π, A = 2C, a = b = e, c = d →
- 2B + C = 2π, 2D + A = 2π, a = b = c = d →
- 2A + B = 2π, 2D + C = 2π, a = b = c = d →
- 2E + B = 2π, 2D + C = 2π, a = b = c = d →
- E = π/2, A + D = π, 2B - D = π, 2C + D = 2π, a = e = b + d →
- A = π/2, C + E = π, 2B + C = 2π, d = e = 2a + c →
- A = π/2, C + E = π, 2B + C = 2π, 2a = c + e = d →
- A = C = π/2, 2B = 2E = 2π - D, c = d, 2c = e →
- D = π/2, 2E + A = 2π, C + A = π, B + D + E = 2π, 2e = 2c = a →
Mais la littérature sur le sujet oublie généralement de préciser qu'on ne s'intéresse ici qu'aux pentagones convexes.
Plusieurs des cas ci-dessus fonctionnent avec des pentagones concaves (pas croisé),
mais d'autres cas ne donnent que des pentagones concaves.
Nous signalerons les cas spécifiques aux pentagones concaves à l'occasion.
Forme 1
D + E = π ⇒ les côtés CD et AE sont parallèlesIl est alors immédiat de construire un tel pentagone arbitraire avec cette seule contrainte.
Le pavage n'est pas bien compliqué à trouver non plus.
Les symétries utilisées sont les rotations de 180° (symétrie centrale) et les translations.
Les points sont librement déplaçables sous la contrainte AE // CD.
Les pentagones peuvent être concaves, mais non croisés bien sûr.
Forme 2
C + E = π, a = dLa construction d'un tel pentagone arbitraire n'offre aucune difficulté. Le pavage est un petit peu moins évident.
Les angles A, B, D dont la somme est 2π peuvent se mettre autour d'un point commun
Les angles C et E supplémentaires permettent de mettre les sommets C et E de deux pentagones le long d'un côté.
Ces deux pentagones partageant leurs côtés a = d.
Ils sont donc l'image l'un de l'autre dans un miroir (symétrie et rotation), ou encore par retournement dessus/dessous de la pièce.
La forme ainsi obtenue est répétée par translation et symétrie centrale.
Forme 3
A = C = D = 2π/3, a = b, d = c + ePar rotation de 120° autour de A, on obtient une "cellule" de 3 pentagones formant un hexagone régulier de côté d, avec laquelle on pave le plan.
D'où la construction simple de ABCDE :
On construit un hexagone régulier de centre A et de côté d, et on choisit le point B sur un côté. E s'en déduit par rotation de 120°
Le pavage avec les hexagones peut prendre plusieurs formes, compte tenu des 4 dispositions
différentes des pentagones dans l'hexagone
Forme 4
A = C = π/2, a = b, c = dAucune difficulté à construire un tel pentagone.
Le pavage s'obtient en dupliquant par rotation de 90° quatre exemplaires autour de l'un des angles droits.
La forme ainsi obtenue pave le plan par translation.
On peut voir aussi dans ce pavage le regroupement de 4 pièces pour former un hexagone à côtés parallèles,
donc pavant le plan par translations itou.
Lorsque le pentagone est symétrique (a = b = c = d) on obtient le "pavage du Caire" utilisé en architecture.
Plus précisément même a = b = c = d = e, pentagone "équilatéral".
La construction de ce cas particulier n'est pas très compliquée, en partant du triangle rectangle isocèle BCD par exemple.
M est l'intersection du cercle de diamètre BD et du cercle de centre D et de rayon a/2.
On obtient B = 2(π/4 + arcsin(1/√8)) ≈ 131°
Forme 5
C = 2A = 2π/3, a = b, c = dLà non plus, pas de difficulté particulière pour construire AB = AE avec A = 60°, BC = CD avec C = 120°.
Une sorte "d'hexagone ondulé" est obtenu en dupliquant 6 exemplaires par rotations de 60° autour de l'angle A.
L'hexagone ainsi obtenu pave le plan "normalement" par translations.
Forme 6
C + E = π, A = 2C, a = b = e, c = d ⇒ A + B + D = 2π et 2C + B + D = 2πLe pentagone est ainsi construit :
A partir des points A et E et de l'angle E, construire ED = AE,
B symétrique de E par rapport à la parallèle à DE en A
<) BDC = CDB = E/2 donnent C
Les symétries par rapport aux milieux de BC et CD donnent deux
formes complémentaires qui pavent le plan par translation.
Forme 7
2B + C = 2π, 2D + A = 2π, a = b = c = d
L'angle C doit être < 120°
En se fixant C et les côtés b = c = d, il est facile de construire ABCD :
AB est parallèle à la bisectrice de l'angle C, c'est à dire perpendiculaire à BD
Le point E est alors unique. Quant à le construire ...
Nous allons construire l'angle E.
Le point E sera alors l'intersection du cercle de centre A de rayon a et de l'arc d'où on voit AD sous l'angle E.
Soit φ = ADC, et donc ADE = D - φ = π - A/2 - φ
En tenant compte de A + B + C + D + E = 3π, les relations imposées donnent
A = 2π - 2E - C et donc A/2 = π - E - C/2, soit ADE = E + C/2 - φ
Dans le triangle AED : AD/sin(E) = a/sin(ADE) ou encore
a.sin(E) = AD.sin(E + C/2 - φ) = AD.(sin(E).cos(C/2 - φ) + cos(E).sin(C/2 - φ))
et a = AD.(cos(C/2 - φ) + cot(E).sin(C/2 - φ)
qui permet de construire cot(E) et donc E.
AD.cot(E) = a/sin(C/2 - φ) - AD.cot(C/2 - φ), et comme C/2 - φ < 0 :
AD.cot(E) = AD.cot(φ - C/2) - a/sin(φ - C/2) Bof...
Traçons la droite DK faisant l'angle C/2 avec CD.
Elle coupe la parallèle à AD à distance AD au point K, que l'on projette en H sur AD.
Alors DH = AD.cot(φ - C/2)
Elle coupe la parallèle à AD à distance b en M, DM = a/sin(φ - C/2), que l'on ramène en DN sur la droite AD
Donc HN = AD.cot(E) donne E = KNH.
Le cercle d'où on voit AD sous l'angle E est ainsi construit :
Tracer la droite DO faisant l'angle HKN avec AD, elle coupe la médiatrice de AD en O, centre du cercle cherché.
Une symétrie par rapport à AE donne une forme qui pave le plan.
En D apparaît la relation 2C + A = 2π
En E la relation 2E + A + C = 2π
Eb B la relation 2B + C = 2π
Types 8-14
