Triangle

Construuire un triangle dont les sommets sont sur trois droites données et les côtés passent par trois points donnés.
Soit A sur la droite (p)=(VW), B sur (q)=(UW), C sur (r)=(UV)
et le côté AB passe par P, BC par Q et AC par R

Choisissons un point A quelconque sur (p), ceci définit un point B correspondant sur (q) avec AB passant par P (projection de la droite (p) sur la droite (q), de centre P)
Puis B→C sur (r) par Q, puis C→A' sur (p) via R.
Ceci définit un homographie projective A→A' sur la droite (p)
Cette homographie est déterminée par trois paires de points homologues
On obtient une solution quand A = A', c'est à dire pour les points fixes de cette homographie.

Voir triangles gigognes pour des détails sur cette construction.

Une permutation des rôles de P,Q,R peut donner d'autres solutions.
Par exemple, sans autre modification par ailleurs, si on veut AB passant par Q et BC par P au lieu du contraire.

Mais comme indiqué dans cet autre sujet, le plus expéditif est de considérer, pour un point A variable sur (VW) l'intersection C de (AR) et (UV) et B coe intersection de (AP) et (CQ)
Le lieu de B est alors une conique qui passe par V, P, Q et les intersections D de (QR)) et (VW) et E de (PR) et (UV)
C'est à dire une conique définie par 5 points
Les points B solutions sont alors les intersections de cette conique avec (UW), et on remonte aux A et C correspondants, intersections de (BiP) avec (VW) et de (PiQ) avec (UV).