Triangle

Construuire un triangle dont les sommets sont sur trois droites données et les côtés passent par trois points donnés.
Soit A sur la droite (p), B sur (q), C sur (r)
et le côté AB passe par P, BC par Q et AC par R

Choisissons un point A quelconque sur (p), ceci définit un point B correspondant sur (q) avec AB passant par P (projection de la droite (p) sur la droite (q), de centre P)
Puis B→C sur (r) par Q, puis C→A' sur (p) via R.
Ceci définit un homographie projective A→A' sur la droite (p)
Cette homographie est déterminée par trois paires de points homologues, soit A1→A'1, A2→A'2 A3→A'3 avec un choix quelconque de A1 A2 A3.
On obtient une solution quand A = A', c'est à dire pour les poijnts fixes de cette homographie.
Pour construire ces points fixes, projetons l'homographie A→A' de (p) sur un cercle quelconque, avec le centre de la projection un point S quelconque de ce cercle. Ceci défini l'homographie a→a' sur le cercle.
Soit a1→a'1 et a2→a'2 deux paires de points homologues dans cette homohgraphie. Alors I = a1a'2∩a2a'1 est sur une droite fixe, l'axe de l'homographie. De sorte que l'on construit cet axe par les intersections I and J de deux telles paires.
Les points fixes de l'homographie sur le cercle sont les intersction sdu cercle et de l'axe, s'il y en a.
Ces points fixes x,y sont alors projetés via S sur la droite (p), donnant les deux solutions, s'il y en a.

Dans l'applet, bien entendu les points P,Q,R, pp', qq', rr' définissant les droites et points donnés sont déplaçables.
L'homography sur (p) est déterminée par les points déplaçables A1 A2 A3 sur (p)
Les points W et S déplaçables choisisent le cercle arbitraire et le centre de la projection.

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Une permutation des rôles de P,Q,R peut donner d'autres solutions.
Par exemple, sans autre modification par ailleurs, si on veut AB passant par Q et BC par P au lieu du contraire.
L'applet n'effectue pas les constructions pour ces autres énoncés.

 

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