Faisceaux de coniques

Etant donnés 3 points A, B, C, étudier le faisceau de coniques tangentes en B à AB et en C à AC. Lieux des centres et des foyers.

Le lieu des centres est la médiane issue de A dans le triangle ABC (une simple question de pole/polaire : la médiane est la polaire du point à l'infini de la droite BC, donc contient le centre = pole de la droite à l'infini)
Dans l'applet suivante, la conique est choisie dans le faisceau par le centre draggable O, sur la médiane OM.
Par une construction classique, les axes sont alors construits, puis les foyers.
Le but de cette applet est d'illustrer le faisceau des coniques de type III (tangentes en B et C aux droites données).

On trace ensuite le lieu des foyers, ce qui semble être une courbe strophoïdale (gris).

Détails sur la construction :

La conique est tracée en utilisant les points supplémentaires D et E symétriques de B et C par rapport au centre O
Ceci définit la conique par 4 points et une tangente, et la construction classique par le théorème de Pascal est utilisée :
Une droite Bt passant par B est choisie (en fait la parallèle à CE) et coupe CD en I
Les droites BC et DE sont parallèles, c'est à dire se "coupent" au point J à l'infini.
La droite IJ est par conséquent la parallèle à BC en I.
Elle coupe la droite AC (la tangente en C) au point K
EK et Bt se coupent en le 5ème point P sur la conique.
Le théorème de Pascal affirme que les paires de côtés opposés de l'hexagone BCCDEP se coupent en I,J,K alignés.
Le point C est compté deux fois et la "droite CC" est la tangente en C.

Deux paires de diamètres conjugués sont alors obtenus :
La première paire est la médiane AO, et la parallèle en O à BC
Une autre paire est construite : OC et OQ, Q milieu de BP (c'est pour ça qu'on a choisi de construire ce point P là !)

Les deux paires de diamètres conjugués sont projetées sur un cercle quelconque passant par O, en (C1,C2) et (A1,A2)
Pour simplifier la construction, le cercle "quelconque" est centré au milieu W de OB (pourquoi pas)
L'intersection S de A1A2 et C1C2 est alors le centre de l'involution x1↔x2 sur le cercle.
Le diamètre OS de ce cercle coupe celui-ci en X et Y, et OX, OY est une paire de diamètres conjugués perpendiculaires, c'est à dire sont les axes de la conique.

On obtient alors les foyers comme suit :
La tangente AC et la perpendiculaire à AC en C (normale en C) coupent l'axe focal en T et N.
(F,F',T,N) est une division harmonique, donc OF² = OF'² = OT.ON
C'est à dire que OF = OF' est la longueur de la tangente issue de O au cercle de diamètre NT.
L'axe focal est celui de OX, OY pour lequel T et N sont du même côté de O

Le lieu de F est tracé en faisant varier O sur la médiane.
Quand le triangle ABC est isocèle, ce lieu dégénère en le cercle circonscrit à ABC + la médiane.
Quand O est à l'infini, la conique est une parabole. Son foyer F_P est obtenu directement comme intersection de "rayons lumineux" parallèles à la médiane (= parallèles à l'axe) réfléchis en B et C sur AB et AC.

Autres cas

On peut se poser la question du lieu des foyers pour d'autres type de faisceaux de coniques
Le lieu du centre est bien connu comme étant dans le cas général une conique, et non plus une simple droite.
Par conséquent pour générer le faisceau; au lieu de choisir le centre, on choisit juste "un 5ème point" (sur une droite donnée par exemple)
Les cas suivants traitent les cas de

1. Type I par 4 points (reels)
2. Type II par 3 points et la tangente en l'un d'eux

   
   Le faisceau est défini par les points A,B,C et la tangente en A.
   Le choix de la conique du faisceau est fait par le point D, sur la normale en A.
   La conique lieu des centres passe par les milieux de AB, AC et BC ainsi que par A et l'intersection I de BC et de la tangente en A
   (A car c'est le centre de la conique dégénérée formée des droites AB et AC, D en A, et I car c'est le centre de la conique dégénérée formée des droites (BC) et de la tangente en A, D sir (BC))
   Le centre du lieu est le milieu de AN, N étant le milieu de BC, et de MM'.

3. Type III déja fait ci-dessus : 2 points et leur tangentes
4. Type IV est 1 point et le cercle osculateur en un autre point
5. Type V est 1 point et un cercle "surosculateur" en ce point

A suivre...