Faisceaux de coniques

Etant donnés 3 points A, B, C, étudier le faisceau de coniques tangentes en B à AB et en C à AC. Lieux des centres et des foyers.

Le lieu des centres est la médiane issue de A dans le triangle ABC (une simple question de pole/polaire : la médiane est la polaire du point à l'infini de la droite BC, donc contient le centre = pole de la droite à l'infini)
Dans l'applet suivante, la conique est choisie dans le faisceau par le centre draggable O, sur la médiane OM.
Par une construction classique, les axes sont alors construits, puis les foyers.
Le but de cette applet est d'illustrer le faisceau des coniques de type III (tangentes en B et C aux droites données).
Quand O est en G, c'est l'ellipse de Steiner intérieure du triangle homothétique de ABC de rapport 2 (en vert clair).

On trace ensuite le lieu des foyers, ce qui semble être une courbe strophoïdale (gris).
Les trous dans le lieu sont dûs à la variation limitée de O sur la droite OG, et à un manque de précision (nombre de points du lieu insuffisant).
Un autre trou apparaît lorsque la conique est une hyperbole rectangulaire (à cause de l'imprécision dans le choix des axes)
Des "pics" ou des trous apparaîssent aussi quand la conique dégénère (quand O sur la droite BC ou près de A), ou quand la strophoïde elle-même dégénère en un cercle + droite etc...

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Détails sur la construction :

La conique est tracée en utilisant les points supplémentaires D et E symétriques de B et C par rapport au centre O
Ceci définit la conique par 4 points et une tangente, et la construction classique par le théorème de Pascal est utilisée :
Une droite variable Bt est choisie (point t déplaçable) et coupe CD en I
Les droites BC et DE sont parallèles, c'est à dire se "coupent" au point J à l'infini.
La droite IJ est par conséquent la parallèle à BC en I.
Elle coupe la droite AC (la tangente en C) au point K
EK et Bt se coupent en le point courant P sur la conique.
Le théorème de Pascal affirme que les paires de côtés opposés de l'hexagone BCCDEP se coupent en I,J,K alignés.
Le point C est compté deux fois et la "droite CC" est la tangente en C.

Deux paires de diamètres conjugués sont alors obtenus :
La première paire est la médiane AO, et la parallèle en O à BC
Une autre paire est construite : le point P sur la conique et une parallèle à CO en B est construit comme point courant particulier (comme ci-dessus, avec Bt // CO)
Soit M le milieu de BP. La paire de diamètres conjugués est (OC, OM)

Les deux paires de diamètres conjugués sont projetées sur un cercle quelconque passant par O, en (x1,y1) et (x2,y2)
Pour simplifier la construction, le cercle "quelconque" est centré en C (pourquoi pas)
L'intersection S de x1y1 et x2y2 est alors le centre de l'involution xi↔yi sur le cercle.
Le diamètre CS de ce cercle coupe celui-ci en u et v, et Ou, Ov est une paire de diamètres conjugués perpendiculaires, c'est à dire sont les axes de la conique.

On obtient alors les foyers comme suit :
La tangente AC et la perpendiculaire à AC en C (normale en C) coupent l'axe focal en I et J.
(F,F',I,J) est une division harmonique, donc OF² = OF'² = OI.OJ
C'est à dire que OF = OF' est la longueur de la tangente issue de O au cercle de diamètre IJ.
L'axe focal est celui de Ou, Ov pour lequel I et J sont du même côté de O

La projection H du foyer F sur la tangente AC est sur le cercle principal, qui donne les sommets sur l'axe focal.
La perpendiculaire à l'axe focal en F coupe le cercle principal en Z, donnant les sommets du petit axe s'il y a.
L'excentricité est alors OF/Oa

Le lieu de F est tracé en faisant varier O sur la médiane.
Quand le triangle ABC est isocèle, ce lieu dégénère en le cercle circonscrit à ABC + la médiane.
Quand O est à l'infini, la conique est une parabole. Son foyer (en gris) est obtenu directement comme intersection de "rayons lumineux" parallèles à la médiane (= parallèles à l'axe) réfléchis en B et C sur AB et AC.
Pour obtenir des tracés nets des coniques et du lieu des foyers, il faudrait faire parcourir à O separément différentes régions de la médiane, en évitant soigneusement le voisinage de A et le milieu de BC.
Et aussi le "cercle quelconque" utilisé pour la construction des axes échoue quand u ou v devient très près voire confondu avec O : les axes Ou ou Ov sont alors indéterminés.
Pour éviter les pics dans le tracé de la conique elle-même (en particulier des hyperboles) la droite Bt utilisée devrait aussi varier par morceaux (pour éviter les points "à l'infini")

Autres cas

On peut se poser la question du lieu des foyers pour d'autres type de faisceaux de coniques
Le lieu du centre est bien connu comme étant dans le cas général une conique, et non plus une simple droite.
Par conséquent pour générer le faisceau; au lieu de choisir le centre, on choisit juste "un 5ème point" (sur une droite donnée par exemple)
Les cas suivants traitent les cas de
  1. Type I par 4 points (reels)
  2. Type II par 3 points et la tangente en l'un d'eux

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    Le faisceau est défini par les points A,B,C et la tangente en A.
    Le choix de la conique du faisceau est fait par le point D, sur la normale en A.

  3. Type III déja fait ci-dessus : 2 points et leur tangentes
  4. Type IV est 1 point et le cercle osculateur en un autre point
  5. Type V est 1 point et un cercle "surosculateur" en ce point
A suivre...

 

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