5 circles - solution

Etant donné 3 points A, B, et C alignés, centres de 3 cercles : Le cercle centré en B est tangent aux cercles A et C.
Le point O étant l'intersection de ABC avec une tangente commune aux trois cercles.

Construire 2 autres cercles tangents, tels que l'un soit tangent aux cercles centrés en A et B, et le second tangent aux cercles centrés en B et C.
La ligne des centres des deux nouveaux cercles devant aussi passer par O.
Tous les cercles sont tangents extèrieurement.

Considérons l'inversion de centre O gardant le cercle (B) invariant.
Le cercle d'inversion (O) passe par le point T, point de contact de la tangente issue de O au cercle (B). Les deux tangentes de O aux circles sont aussi invariantes par l'inversion (passant par le pole O).
Le cercle (A) est donc transformé en un autre cercle tangent à (B) et aux tangentes issues de O. Mais il y a seulement deux cercles tangents à (B) et aux deux tangentes communs : les cercles (A) et (C). Donc l'inversion échanges les cercles (A) et (C).
Les cercles (4) et (5) sont transformés en des cercles centrés sur la m^me ligne passant par O, et tangents à (B)(C) et (B)(A).
Il y a seulement un cercle tangent à (B) (C) centré sur une droite doonnée : le cercle (5).
C'est à dire que les cercles (4) et (5) sont aussi échangés par l'inversion.
Leur point de contact est donc sur le cercle d'inversion (O), ils sont donc tabgents au cercle (O).

Le problème devient alors de construire le cercle (4) comme étant tangent à (A), (B) et (O), et le cercle (5) comme étant tangent à (B), (C) et (O). Ceci peut être fait directement (voir en annexe), mais il y a une construction plus simple.

Le cercle (5) étant inverse de (4) est aussi homothétique de (4), dan une homothétie de centre O.

Les cercles {(B)(C)(5)} peuvent alors être considérés comme homothétiques de {(A)(B)(4)}. Dans cette homothétie, le cercle (O) est le transformé du circle (X) de rayon OX, X étant le point de contact de la tangente avec (A).
Comme (O) est tangent à (5), le cercle (X) est tangent à (4). Et donc le cercle (4) est égal au cercle de diamètre TX.
de même (5) est égal au cercle de diamètre TY, Y étant le point de contact de la tangente à (C). Ceci conduit à une construction très simple:
M étant le milieu de TY, O₅ est l'intersection du cercle centré en C de rayon CY + YM, et du cercle centré en O de rayon OM (générallement CT ≠ CO₅ !).
Le cercle (4) est alors construit avec BO₄ // CO₅, et O,O₄,O₅ alignés.
Le cercle (4) peut tout ausi bien être construit d'abord à partir du milieu de TX, puis CO₅ // BO₄, mais choisir le plus grand cercle conduit à une construction plus précise.

Note : La puissance de O relative au cercle (B) est OI.OJ = OT² c'est à dire OJ/OT = OT/OI
Comme (A) et (B) sont semblabls, OJ/OT = OI/OX. C'est à dire OT/OI = OI/OX = √(OT/OX)
OT/OI = OR/OI est le rapport de similitude des deux cercles (4) et (A),
OT/OX = OB/OA le rapport de similitude de (B) et (A).
Donc le rapport de similitude égal des cinq cercles (A):(4):(B):(5):(C) dont les rayon sont en progression géométrique de raison √(OB/OA).

A autre conséquence est que les 4 points de contact des cercles (4) et (5) avec (A), (B), (C) sont alignés avec O.

Annexe

Construction directe du cercle tangent à (A), (B), (O), juste pour le fun.

Soit I le point de contact de (A) et (B).
Considérons l'inversion de pôle I conservant le cercle (O) invariant.
Les cercles (A) et (B) sont transformés en deux droites (A') et (B') perpendiculaires à OB. Le cercle (4) est transformé en le cercle (4') tangent à (A'), (B') et (O).
Soit J diamétrallement opposé à I sur le cercle (B) et S diamétrallement opposé à I sur (A).

Deux points M et N sont inverses si IM.IN = OI² - OT², c'est à dire la puissance de I relative au cercle invariant (O).
Cherchons l'inverse de J. OT² = OI.OJ, puissance de O relative au cercle (B)
OI² - OT² = OI² - OI.OJ = OI.(OI - OJ) = OI.JI = IO.IJ
Donc O est l'inverse de J et par conséquent l'inverse de (B) est la perpendiculaire en O à OB.
Les deux cercles (A) et (B) étant homothétiques, OI/OS = OJ/OI ou OI² = OJ.OS
OI² - OT² = OJ.OS - OI.OJ = OJ.(OS - OI) = OJ.IS
Soit H l'inverse de S : IS.IH = OJ.IS, donc IH = OJ.
Par conséquent le milieu de IJ, c'est à dire B, est ausi le milieu de OH.
L'inverse de (A) esrt par conséquent la perpendiculaire en H à OB, avec OH = 2×OB.

L'image (4') du cercle (4), tangent a (A') et (B') est centré en U sur la ligne médiane de (A') et (B'), c'est à dire la perpendiculaire en B à OB. Son rayon est égal à OB. Etant tangent à (O), son centre est sur le cercle centré en O de rayon OT + OB.

Et finalement la construction :
Tracer T, point de contactde la tangente à (B) de O.
Tracer la perpendiculaire en B à OB, et le cercle centré en O de rayon égal à OT + OB. Ils se coupent en U.
Une parallèle à OB de U coupe en V la perpendiculaire en O à OB.
IV coupe le cercle (B) en K, puis BK et IU se coupent en O₄.
Le cercle (4) est centré en O₄ et de rayon O₄K.
Le cercle (5) étant homothétique du cercle (4), la parallèle à BO₄ issue de C coupe OO₄ en O₅
OO₄ coupe le cercle (4) en R, p^roche de O₅. Le cercle (5) est centré en O₅ et de rayon O₅R.