Mascheroni

L'abbé Mascheroni fit paraître en 1798 un livre sur la géométrie du compas.
Sa motivation était principalement pratique :

Pour démontrer en général la supériorité de l'usage du compas sur celui de la règle, quand il s'agit de décrire avec précision des lignes à l'épreuve du microscope [...] la trace d'une ligne menée le long de la règle porte avec elle une incertitude [...] Le compas n'est point sujet à ces [...] inconvénients, il suffit que son ouverture soit fixe et les pointes très fines

Il découvrit alors que

on peut trouver avec le compas seul tous les points [trouvés] avec le secours de la règle et du compas réunis

Ceci forme le théorème de Mohr-Mascheroni

Pour prouver ce théorème, il suffit de savoir construire au compas seul :

• Le "tracé" d'une droite, en fait construire des points d'une droite définie par deux de ses points
  (prolonger une droite, milieu etc...)
  Une droite, ne pouvant pas être tracée, est juste définie par deux de ses points.
• L'intersection de deux droites
• L'intersection d'une droite et d'un cercle
• L'intersection de deux cercles (heu... évidemment)

Dans la pratique, on ne "traduit" pas une construction à la règle et au compas en appliquant de façon répétée ces constructions élémentaires.
Les constructions au compas seul utilisent leurs propres constructions élémentaires.

En suivant un tant soit peu le livre de Mascheroni, après quelques lemmes sous forme de relations métriques utiles pour la suite, il commence par diviser la circonférence en 4, 8, 12, .. 240 parties égales.
Ceci est bien inutile pour démontrer le théorème, mais son livre est essentiellement un traité de constructions pratiques. Nous y reviendrons.
Dans la foulée, il donne la division d'un arc quelconque en deux.

Il traite ensuite de la division et multiplication des distances, c'est à dire de la construction de points d'une droite.

Trouver le milieu d'un segment donné AB

Il ne donne pas moins de cinq constructions différentes pour ce problème !
L'une d'elles est donnée là

Donnons en une autre qui à mon avis est un peu plus précise, les arcs de cercles se coupant sous un angle moins aigu.

On construit le demi cercle ACDE, donnant le point E diamétralement opposé, en reportant trois fois le rayon AC = CD = DE = AB le long de l'arc de cercle.
Le cercle de centre A et de rayon AE et le cercle de centre E et de rayon EC se coupent en F et F'
Les cercles de centres F et F' et de rayon FE = F'E se coupent en M, milieu de AB.

Preuve :
Bien entendu (symétrie) M est sur la droite AB.
EF² = EC² = 3AB² (AEC = 30°)
FH² = FE² - HE² = FA² - AH², soit (AH + HE)(AH - HE) = FA² - FE² = 4AB² - 3AB² = AB²
Comme AH + HE = 2AB, cela donne AH - HE = AB/2.
on en tire par différence HE = 3AB/4, et donc AM = AE - 2HE = AB/2.

Nota : les éléments en cyan ne sont ni construits ni tracés, ils ne servent que pour la démonstration.

Au passage mentionnons que ces deux constructions peuvent s'effectuer avec un compas fermant.
On appelle ainsi un compas (théorique) qui ne permet de tracer que des cercles de centre donné et passant par un point donné.
Un compas "ordinaire" permet en plus de tracer des cercles de centre donné et de rayon donné (= distance de deux points donnés).
Le compas fermant se "referme" dès qu'il quitte la feuille de papier, et ne permet pas de "mémoriser" le rayon.
On peut avoir une petite idée des contraintes dans l'emploi du compas fermant :
Construire avec un compas fermant seul (sans la règle) un cercle de centre A et de rayon BC

En d'autres termes : Toute construction légale avec un compas ordinaire peut être effectuée avec un compas fermant
L'introduction d'un compas fermant est là pour renforcer le caractère "légal" des constructions, il est quasi impossible de "tricher" avec un compas fermant (déplacer le compas jusqu'à ce que etc...)
Le théorème de Mohr-Mascheroni peut donc être renforcé :

Tous les points constructibles avec la règle et le compas, sont constructible avec le compas fermant seul.

Mascheroni poursuit son étude avec la division en 3 ... n d'un segment. Puis l'addition et soustraction des distances, et les constructions de parallèles et perpendiculaires.
Il traite ensuite des proportions, puis des racines (construire √2, √3 etc...)
Il faut attendre le livre (chapitre) septième pour voir traiter de ce qui nous intéresse plus particulièrement ici : prouver le théoréme.

Intersections d'une droite et d'un cercle

C'est à dire la droite étant définie par deux de ses points A et B
Cette construction étant facile, cherchez un peu avant de cliquer sur la solution.

Si la droite AB passe par le centre du cercle, en d'autre termes intersection de OA avec le cercle :
De A comme centre, on trace un cercle quelconque qui coupe le cercle donné en B et C, symétriques par rapport à la droite OA.
La construction se poursuit en construisant le milieu de l'arc BC.
Le cercle de centre O et de rayon BC coupe les cercles de centres B et C et de rayon OB = OC en D et E.
DBCO et OBCE sont des parallélogrammes et donc DOE sont alignés.

Théorème : dans un triangle de côté a,b,c la longueur m = AM_a de la médiane par le milieu du côté a est  4m² = 2b² + 2c² - a² 
Preuve : développer le produit scalaire (AB^> + AC^>)² + (AB^> - AC^>)² = 2AB² + 2AC²

Ici la diagonale CD, double de la médiane du triangle BOC, est donc CD² = 2BC² + 2OC² - OB² = 2BC² + OB² = 2OD² + OB²
Traçons les cercles de centres D et E et de rayon CD = BE, se coupant en F.
OF² = DF² - OD² = CD² - OD² = OD² + OB²
Les cercles de centres D et E et de rayon OF se coupent en M.
OM² = DM² - OD² = OF² - OD² = OB²
Donc M est sur le cercle et par symétrie au milieu de l'arc BC.
Ceci donne aussi bien sûr en même temps le point M'.
En fait l'un des deux arcs de centre D ou E et de rayon OF est inutile : M et M' sont les intersections avec le cercle donné.

Intersection de deux droites

La construction de Mascheroni utilise une construction qu'il a exposé précédement : Construire x avec x/a = b/c pour a,b,c donnés.
Voyons déjà cette construction à part pour ne pas alourdir la construction principale.

Traçons deux cercles concentriques de rayons a et c
Reportons sur le cercle de rayon c la distance AB = b
Traçons deux cercles de même rayon R quelconque, de centres A et B,
et coupant le cercle de rayon a en C et D.
alors x = CD = a.b/c

Preuve : les triangles OAC et OBD sont égaux (AC = BD = R, OA = OB, OC = OD).
Donc l'angle AOC = BOD et donc l'angle AOB = COD,
les triangles isocèles AOB et COD sont donc semblables, et CD/OC = AB/OA.

On peut être amené à multiplier par un même facteur entier les longueurs a et c pour que la corde de longueur AB = b soit possible : b < 2c
il vaut mieux même b < 1.5c si on veut un point B d'intersection précis.
On utilise la méthode vue précédemment de tracer un demi-cercle pour doubler un segment.

Exposons maintenant la construction au compas seul de l'intersection de deux droites définies par les points AB et CD.
Les cercles de centre A passant par C et de centre B passant par C se recoupent en C', symétrique de C par rapport à la droite AB. On construit de même le symétrique D' de D.
Les cercles de centre C et de rayon DD', et de centre D' de rayon CD se coupent en E.
ECDD' est un parallélogramme, et CM/ED' = C'C/C'E
La construction de CM est donc comme précédemment :
Tracer les cercles de centre C' et de rayon C'C et C'E
Reporter EF = ED'.
Reporter une distance quelconque (ici = EF) : EE' = FF'
E'F'/C'C = EF/C'E et donc E'F' est la distance CM = C'M cherchée.
L'intersection des cercles de centre C et C' et de rayon E'F' donne le point M, intersection de AB, CD et C'D'.

On a ainsi achevé les constructions élémentaires prouvant le théorème de Mohr-Mascheroni.
Le livre de Mascheroni n'a pourtant pas épuisé tout son intérêt, de nombreuses constructions pratiques parsemant l'ouvrage.

Mentionnons la construction du centre d'un cercle tracé sans son centre.
La solution proposée par Mascheroni est exposée là
On notera qu'il s'agit d'une solution complètement différente de celle habituellement exposée.

Pentagone régulier

Plusieurs constructions proposées par Mascheroni conduisent à la construction d'un pentagone régulier.
Il y a déja dans le chapitre sur la division en 240 du cercle, la division en 5 :

On trace le demi cercle ABCD (OA = AB = BC = CD = R).
Les cercles de centres A et D de rayon AC = DB se coupent en E.
Rapellons que OE = R√2, ceci permet de construire F avec AF = AE, sur la perpendiculaire OE.
Le cercle de centre F et de rayon R = OF donne les points I et J, divisant le demi-cercle AIBFCJD en arcs de 30°.
Les cercles de centres I et J et de rayon OE = R√2 se coupent en G.
AG est le côté du pentagone inscrit AMNPQ.
La droite IJ coupe le rayon OF en son milieu H, et HI = R√3 / 2
Donc HG² = IG² - IH² = 2R² - 3R²/4 = 5R²/4
Quittons ici la démonstration de Mascheroni, qui renvoie simplement à l'Almageste de Ptolémée et à la "démonstration de Clavius dans le scholie dépendant de la proposition 10 du livre 13 d'Euclide" (sic), car ces livres savants ne sont pas entre toutes les mains !
On en déduit plus directement OG = R(√5 - 1)/2, et donc AG² = OA² + OG² = R² + R²(√5 - 1)²/4 = R²(10 - 2√5)/4,
soit AG = R√(10 - 2√5) / 2 à comparer avec R.sin(36°) = 1/2 côté du pentagone = R√(10 - 2√5) / 4
Cette valeur étant obtenue le plus directement par les formules de De Moivre sin(5θ) = 16 sin⁵(θ) - 20sin³(θ) + 5sin(θ)
et donc sin(36°) est la plus petite solution > 0 de 5sin(θ) - 20sin³(θ) + 16 sin⁵(θ) = 0, soit 16sin⁴(θ) - 20sin²(θ) + 5 = 0.
16X² - 20X + 5 = 0 a pour plus petite solution X = (10 - √20)/16, et donc sin(36°) = √X
Sans faire intervenir De Moivre, une démonstration élémentaire était donnée dans le Lebossé et Hémery de 1ère C, édition 1962, toutefois affublée d'une astérisque (= hors programme).

Revenons à Mascheroni qui donne comme problème n°97 :

Diviser un segment OA en moyenne et extrème raison

C'est à dire trouver le point M tel que MO/MA = OA/MO
On en déduit immédiatement que MO/OA est solution de x² + x - 1 = 0, en d'autre termes que x = 1/φ = (-1 + √5)/2
Ceci conduit à une construction du pentagone puisque le rapport du côté à la diagonale est le nombre d'or φ.
Décrire les 2/3 cercle ABCDE, de centre O (OA = AB = BC = CD = DE)
Les cercles de centres A et D et de rayon AC = BD se coupent en F maintenant bien connu.
Les cercles de centres C et E et de rayon OF = R√2. se coupent en M cherché.
La démonstration que OM = OA(√5 - 1)/2 est comme ci-dessus, simplement la construction est tournée de 90°.

On peut alors construire aisément le pentagone de diagonale = OA, et donc de côté = OM :
Les cercles de centres O et A et de rayon OM se coupent en N.
Le cercle de centre A et de rayon OM coupe le cercle ABCDE en Q.
Les cercles de centres Q et O et de rayon OM se coupent en P.

Enfin il donne deux constructions d'un pentagone de côté donné.
L'une d'elles poursuit la construction précédente à partir du rapport inverse :
En effet DM = OA(√5 + 1)/2 = φ.OA, donne DM = la diagonale du pentagone de côté OA :
Tracer les cercles de rayon DM et de centres O et A.
Ils se coupent en P. Le cercle de centre A coupe le cercle ABCDE en N, et le cercle de centre O coupe le cercle de centre A et de rayon OA (déja tracé pour obtenir B) en Q.

Restons en là à propos des constructions de Mascheroni.