Somme des puissances
La somme des nombres entiers s'obtient aisément (
progression arithmétique) :
1 + 2 + 3 +...+ n = n(n+1)/2
La somme des carrés S
2(n) = 1
2 + 2
2 + 3
2 +...+ n
2
est un peu plus difficile à obtenir.
On passe par le développement de (n+1)
3 = n
3 + 3 n
2 + 3n + 1
(0+1)
3 = 0
3 + 3 x 0
2 + 3 x 0 + 1
(1+1)
3 = 1
3 + 3 x 1
2 + 3 x 1 + 1
(2+1)
3 = 2
3 + 3 x 2
2 + 3 x 2 + 1
(3+1)
3 = 3
3 + 3 x 3
2 + 3 x 3 + 1
...
(n+1)
3 = n
3 + 3 x n
2 + 3 x n + 1 et en ajoutant et simplifiant les termes égaux :
(n+1)
3 = 0
3 + 3S
2(n) + 3n(n+1)/2 + (n+1)
soit S
2(n) = ((n+1)
3 - 3n(n+1)/2 - (n+1))/3 = n
3/6 + n
2/2 + n/6 = n(n+1)(2n+1)/6
On peut obtenir de même, en développant (n+1)4, la somme des cubes :
S3(n) = 13 + 23 + 33 +...+ n3 = n2(n+1)2/4
qui est d'ailleurs le carré de la somme des entiers
Une formule générale pour Sk(n)=1k+2k+3k+4k+...+nk
fait intervenir les nombres de Bernoulli Bi.
Sk(n) = nk+1/(k+1) + nk/2 + ∑i=2k Ck+1i Bi nk+1-i
