Le célèbre problème du partage des chameaux revient à écrire n/a + n/b + n/c = n - 1
ou encore 1/a + 1/b + 1/c + 1/n = 1.
Chercher tous les énoncés possibles revient à résoudre cette équation.
On peut imposer a≤ b ≤ c ≤ n
(en triant a,b,c,n).
La valeur minimum de a est amin = 2, sa valeur maximum est telle que
1/a + 1/a + 1/a + 1/a = 1 donc amax = 4.
Il reste après le choix d'une valeur de a : 1/b + 1/c + 1/n = 1 - 1/a = p/q.
Et alors b est encadré par b ≥ a,
1/b < p/q et 3/b ≥ p/q
C'est à dire (a,q/p) ≤ b ≤ 3q/p
(inégalité stricte si a ≤ q/p)
Pour a = 2 cela donne p/q = 1/2 et 2 < b ≤ 6 (inégalité stricte avec q/p)
ou encore 3 ≤ b ≤ 6
On poursuit ainsi après le choix de la valeur de b avec 1/c + 1/n = 1 - 1/a - 1/b = p'/q' qui donne
(b,q'/p') ≤ c ≤ 2q'/p'
Après le choix de c, le reste 1/n = 1 - 1/a - 1/b - 1/c doit avoir un numérateur égal à 1.
Pour que cette solution donne un énoncé valable du problème des chameaux, il faut de
plus que a,b,c divisent n.
Il y a donc un nombre fini de solutions avec 3 héritiers, que l'on peut résumer dans
le tableau :
| a | 1 - 1/a | b | 1 - 1/a - 1/b | c | 1 - 1/a - 1/b - 1/c | n | |
| 2 | 1/2 | 3 | 1/6 | 7 | 1/42 | 42 | 1/2 + 1/3 + 1/7 = 41/42 |
| 8 | 1/24 | 24 | 1/2 + 1/3 + 1/8 = 23/24 | ||||
| 9 | 1/18 | 18 | 1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18 | ||||
| 10 | 1/15 | 15 | 15 pas multiple de 10 | ||||
| 11 | 5/66 | - | |||||
| 12 | 1/12 | 12 | 1/2 + 1/3 + 1/12 = 11/12 | ||||
| 4 | 1/4 | 5 | 1/20 | 20 | 1/2 + 1/4 + 1/5 = 19/20 | ||
| 6 | 1/12 | 12 | 1/2 + 1/4 + 1/6 = 11/12 | ||||
| 7 | 3/28 | - | |||||
| 8 | 1/8 | 8 | 1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8 | ||||
| 5 | 3/10 | 5 | 1/10 | 10 | 1/2 + 1/5 + 1/5 = 9/10 | ||
| 6 | 2/15 | - | |||||
| 6 | 1/3 | 6 | 1/6 | 6 | 1/2 + 1/6 + 1/6 = 5/6 | ||
| 3 | 2/3 | 3 | 1/3 | 4 | 1/12 | 12 | 1/3 + 1/3 + 1/4 = 11/12 |
| 5 | 2/15 | - | |||||
| 6 | 1/6 | 6 | 1/3 + 1/3 + 1/6 = 5/6 | ||||
| 4 | 5/12 | 4 | 1/6 | 6 | 6 pas multiple de 4 | ||
| 4 | 3/4 | 4 | 1/2 | 4 | 1/4 | 4 | 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4 |
Avec 4 héritiers, il y a 52 solutions avec des parts différentes pour chaque héritier,
citons celle-ci qui me plait bien :
1/2 + 1/5 + 1/6 + 1/8 avec 119 chameaux
et celle avec le plus grand nombre de chameaux :
1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 avec 1805 chameaux
Notez que l'équation 1/a + 1/b + 1/c + 1/d = (n-1)/n a elle 147 solutions alors qu'il n'y a que
97 solutions au problème des chameaux à 4 héritiers :
il faut de plus que les termes a,b,c et d divisent n.
Avec 5 héritiers on obtient 1568 solutions, dont 1043 avec des parts différentes,
et jusqu'à 3263441 chameaux.
Au delà le programme dure trop longtemps pour obtenir toutes les solutions.
On peut chercher les "solutions normalisées" c'est à dire les plus simples
avec des termes différents :
Avec 4 héritiers : 1/2 + 1/5 + 1/6 + 1/10 et 29 chameaux
Avec 5 héritiers : 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/12 et 23 chameaux
Avec 6 héritiers : 1/3 + 1/5 + 1/6 + 1/9 + 1/10 + 1/12 et 179 chameaux
Avec 7 héritiers : 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/8 + 1/10 + 1/12 + 1/15 et 119 chameaux
Avec 8 héritiers le calcul avec le programme général est trop long et met en jeu des nombres astronomiques...
A suivre : algorithme efficace de décomposition en série de Engel