Le périmètre est alors 2mu(u + v)
Le périmètre possible est donc forcément un nombre pair, et on se donne le demi périmètre p = mu(u + v)
On a bien sûr u + v > u > v ≥ 1, soit u ≥ 2 et u + v ≥ 3
Il est impossible d'avoir un triangle de Pythagore de demi-périmètre un nombre premier
Avec p = 2×3 = 6, cela donne la seule possibilité u = 2, u + v = 3 soit v = 1 et le seul triangle (3,4,5)
de demi-périmètre 6.
De même si p est le produit de deux nombres premiers distincts.
p = 5×7 = 35 donne la seule solution u = 5, u + v = 7, soit v = 2 et le triangle (21, 20, 29)
Par contre p = 5×11 = 55 donnerait u = 5 et u + v = 11, soit v = 6 et est donc rejeté car v > u :
il n'y a aucun triangle de Pythagore de périmètre 110.
Dans le cas général, on cherche toutes les décompositions de p en produits de 3 facteurs p = m u r
Alors v = r - u,
en ne conservant que celles avec u < r < 2u pour
garantir 1 ≤ v < u
p = 30 donne 27 décompositions en produits de 3 facteurs m, u, r, dont seules 3 satisfont au critère,
et les deux seuls triangles de Pythagore de périmètre 60 :
p = 1×5×6 → u=5, v=1 → (24, 10, 26)
p = 5×2×3 → u=2, v=1 → (15, 20, 25)
p = 2×3×5 → u=3, v=2 → (10, 24, 26) déja trouvé.
p = 60 donne 6 produits satisfaisants (sur 54), dont 3 seulement donnent des triangles différents :
p = 5×3×4 → (40, 30, 50)
p = 1×6×10 → (20, 48, 52)
p = 3×4×5 → (45, 24, 51)
p = 2×5×6 → (48, 20, 52) déja trouvé
p = 10×2×3 → (30, 40, 50) déja trouvé
p = 4×3×5 → (20, 48, 52) déja trouvé
120 est le plus petit périmètre commun à trois triangles de Pythagore
Le nombre de façons d'écrire p = Πpiei comme produit de 3 facteurs (ordonnés) est
N = Π(ei + 1)(ei + 2)/2
Par exemple 360 = 2³×3²×5 peut s'écrire comme produit de 3 facteurs de
(3+1)(3+2)(2+1)(2+2)(1+1)(1+2)/8 = 180 façons différentes
Un Javascript ((*) = triangles primitifs) :
r = mv(u - v)
Ceci permet d'obtenir (en décomposant r en facteurs premiers) tous les
triangles de Pythagore ayant un cercle inscrit de rayon donné r.
Si r est un nombre premier p ≥ 3, il n'y a que trois triangles distincts :
m = p, v = 1, u - v = 1 c'est à dire (3p, 4p, 5p)
m = 1, v = p, u - v = 1 c'est à dire u = p + 1 et (2p + 1, 2p² + 2p, 2p² + 2p + 1)
m = 1, v = 1, u - v = p c'est à dire u = p + 1 et (p² + 2p, 2p + 2, p² + 2p + 2)
Ces triangles sont distincts car 2p² + 2p + 1 > p² + 2p + 2 pour p > 1
et p² + 2p + 2 > 5p pour p > 2
Et réciproquement, si r est un nombre composé >5 il y a plus de 3 triangles, au moins 5 :
Posons r = st, t ≥ s >1 ⇒ t≥3 et s≥2
| m | v | u-v | u | a | b | c | |
| A : | st | 1 | 1 | 2 | 3st | 4st | 5st |
| B : | t | s | 1 | s + 1 | t(2s + 1) | 2st(s + 1) | t(2s² + 2s + 1) |
| C : | t | 1 | s | s + 1 | ts(s + 2) | 2t(s + 1) | t(s² + 2s + 2) |
| D : | s | t | 1 | t + 1 | s(2t + 1) | 2ts(t + 1) | s(2t² + 2t + 1) |
| E : | s | 1 | t | t + 1 | st(t + 2) | 2s(t + 1) | s(t² + 2t + 2) |
| F : | 1 | st | 1 | st + 1 | 2st + 1 | 2st(st + 1) | 2s²t² + 2st + 1 |
| G : | 1 | s | t | s + t | t(2s + t) | 2s(s + t) | 2s² + 2st + t² |
| H : | 1 | t | s | s + t | s(2t + s) | 2t(s + t) | s² + 2st + t² |
| J : | 1 | 1 | st | st + 1 | st(st + 2) | 2(st + 1) | s²t² + 2st + 2 |
Les cas particuliers r < 5 donnent
r = 1 : (3, 4, 5) un seul triangle possible (car une seule façon d'écrire 1 = 1×1×1)
r = 2 : (6, 8, 10) (5, 12, 13) (8, 6, 10) c'est à dire deux triangles distincts seulement
r = 3 : (9, 12, 15) (7, 24, 25) (15, 8, 17) entre dans le cas général des nombres premiers ≥3
r = 4 : (12, 16, 20) (10, 24, 26) (9, 40, 41) trois seulement distincts
Le tableau ci-dessous donne la liste des triangles de rayon r premier, 3 ≤ r ≤ 100
Un Javascript pour le cas général ((*) = triangles primitifs) :
Autre méthode :
les cotés sont r+x, r+y, x+y
Pythagore donne (x+y)² = (r+x)² + (r+y)² soit après simplification : xy = rx + ry + 2r²
Qu'on peut récrire sous la forme factorisée
(x-r)(y-r) - r² = 2r², ou encore (x-r)(y-r) = 3r²
les solutions sont alors obtenues en factorisant 3r²