Formes diverses

Carré + un triangle

La taille du triangle rectangle isocèle ajouté peut être quelconque, tant qu'elle ne déborde pas ! (D draggable)
La construction est la même et n'amène aucun commentaire.
Le cas du triangle égal au quart du carré en est alors un cas particulier.

Sam Loyd propose aussi dans sa "Cyclopedia of 500 puzzles" de généraliser à un triangle rectangle isocèle dont un côté de l'angle droit est commun avec le carré.
Malheureusement cette découpe ne fonctionne qu'avec un triangle isocèle de côté moitié de celui du carré.

3/4 de carré

Toujours de Sam Loyd, maintenant on ote 1/4 du carré.
Sa solution en 4 pièces est malheureusement fausse. Il faut 5 pièces.
La construction est sans commentaire.
On en déduit immédiatement la dissection en 4 morceaux si le 1/4 oté est un carré au lieu d'un triangle.

La solution de Sam Loyd donne un rectangle :

Le rapport des côtés du rectangle obtenu est 3/4 × 7²/6² ≈ 1.021
D'accord, à 2% près c'est un carré...
Pour obtenir un véritable carré avec cette méthode, il suffit alors que le "carré" de départ ... ne soit pas carré !

Rectangle sans un coin

La forme se découpe en 3 morceaux seulement :

Contrairement à ce qu'affirme Sam Loyd l'angle en C n'est pas quelconque, ou plus exactement le rapport des côtés AE/AB et l'angle en C sont liés. L'angle en C peut ainsi prendre n'importe quelle valeur entre 157.5° (7π/8) et 180° Le côté AE est alors entre AB et AB(1  + √2/2) ≈ 1.7 AB
La position de la pièce jaune donne N milieu de CD, mais aussi (car elle est retournée) <)NCK = DNM = EDN
Le long de CK, on a MA = MN. MABC est donc obligatoirement un carré :
On a bien entendu AB = BC. La preuve que AM = MC est plus délicate.
La construction de D étant donnés ABCE est alors comme suit :
Le cercle de centre M de rayon MA et la médiatrice de ME se coupent en N,
D est le symétrique de C par rapport à N.

Rectangle troué

Cette dissection ne fonctionne que pour certaines dimensions du rectangle et du trou.
De plus le cas général donne un rectangle et non un carré.

Etudions les conditions sur le rectangle plein :
Le nombre de marches doit bien entendu être un nombre entier (!) pair 2k.
Les côtés sont alors (2k + 2)a et 2kb - c
Le rectangle troué ayant pour dimensions (2k + 1)a et (2k + 1)b - c, et le trou ayant pour dimensions a × (b+c).
Le rectangle plein sera un carré si (2k + 2)a = 2kb - c soit 2a + c = 2k(b - a), et :

 2k = (2a + c)/(b - a)  c'est à dire que (2a + c)/(b - a) doit être un entier pair.

Le côté du carré est alors  s = a(2b + c)/(b - a) 
Dans l'exemple, a = 1, b = 2, c = 4, k = 3, s = 8, rectangle troué 7×10 avec un trou de 1×6 (bien sûr 64 + 6 = 70).

La même technique des escaliers permet de "boucher" des trous de formes diverses :
Le drapeau Suisse de Sam Loyd, les trous de Martin Gardner etc...
Là aussi on n'obtient généralement pas un carré.

Des escaliers "obliques" résolvent la dissection du rectangle avec deux coins coupés.
Bien entendu, comme pour toutes ces découpes en escalier, ça ne marche qu'avec des dimensions particulières du rectangle.

Lettre E

Une possibilité est de découper tout d'abord le E pour former deux carrés accolés.
La dissection classique de deux carrés en un seul donne alors la dissection du E en carré.

Dans la deuxième dissection en 4 pièces seulement, il y a deux pièces retournées.

Trous

A propos de figures avec des trous, mentionnons les dissections de croix grecque en carré, mais avec un trou soit dans la croix, soit dans le carré.
La première dissection (carré plein ↔ croix trouée) nécessite AH = HN = BN et perpendiculaires. D'où la construction :
La perpendiculaire à AB en son milieu M coupe BC en K.
MK = MA/2 (points de la grille 8×8) et les triangles AMK et AHM semblables donnent H.
H n'est pas sur la grille, mais peut être tracé facilement à la règle seule à partir de P sur la grille : CP = AC/4

 

La croix pleine ↔ carré troué n'amène aucun commentaire, si ce n'est qu'il n'est pas trivial de découvrir cette dissection en 6 pièces seulement !
Tous les points sont sur la grille 5×5 du carré.

Les autres dissections avec des croix sont vues à part.