Techniques de dissection

Cette page illustre les techniques majeures utilisées pour obtenir des dissections en le nombre minimum de pièces d'un polygone P1 en un polygone P2.
Voir aussi le site de Gavin Theobald

Les P-strip

Le principe de base :
- Effectuer une dissection (simple) de P1 en une forme qui pave une bande (strip) par translation.
- Effectuer de même une dissection de P2 en une forme pavant une bande
- Superposer les deux bandes, la partie commune donne "immédiatement" une dissection de P1 ↔ P2
- Déplacer les deux bandes l'une par rapport à l'autre pour obtenir le nombre minimum de pièces

Ceci ne garantit pas que ce nombre de pièces est le minimum absolu pour la dissection P1 ↔ P2, car il pourrait exister des dissections meilleures :
- Avec une autre technique
- Avec d'autres dissections préliminaires pour la "mise en bandes"

Explicitons cette méthode avec une dissection de l'hexagone en carré

Fichier Geogebra

Le pavage d'une bande par des carrés est sans commentaire.
L'hexagone est coupé en deux et les deux moitiés mises côte à côte pour former le parallélogramme AEFD, qui pave alors une bande par simple translation de module = AE
La partie commune TUVW d'intersection entre les deux bandes définit les découpes, ici au démarrage en 8 morceaux.
Ces morceaux sont alors laissés sur place ou bien translatés pour être mis dans le carré, par translations de module = PQ ou bien dans l'hexagone, par translations de module = AE. Par conséquent :

Les côtés du parallélogramme commun sont égaux à UV = PQ et à TU = AE, en d'autres termes :

   Les bords d'une bande passent par des points homologues de l'autre bande

Ceci impose l'angle entre les deux bandes.

Dans l'applet, le déplacement des bandes parallèlement à elles mêmes est assuré par le déplacement de R
Le nombre minimum de pièces = 5 est obtenu avec le coin R du carré sur le coin F de l'hexagone (bouton "normal")
La construction du côté du carré équivalent à l'hexagone est aussi affichée :
cercle de diamètre DF et FK = FH = hauteur de la bande d'hexagones
L'aire de l'hexagone est DF.FH = DF.FK = FM², FM est donc le côté du carré.
Les triangles FHV et FKM (position normale R = U = F), égaux par rotation de 90°, montrent que la droite DM est la direction de la bande de carrés.
On notera que QR (parallèle à FM) n'est pas parallèle à BC
Le calcul donne l'angle DFM = arccos(41/12 ) = 57.5°

On peut bien entendu effectuer la construction dans l'autre sens (à partir de D) mais c'est ici inutile car la figure est la même en échangeant les deux moitiés de l'hexagone, c'est à dire en considérant le morceau BEFC et le morceau suivant à droite comme élément du pavage de la bande d'hexagones.
Dans le cas général, si les morceaux ne sont pas échangeables, il faut essayer les deux orientations de l'angle des bandes.
L'applet ne colorie pas les différents morceaux, car de nombre et de forme trop variables en fonction de la position relative des bandes.

Les T-strip

Ici les formes utilisées pour "paver" les bandes ne pavent plus par une simple translation, mais par symétrie centrale.
Sinon le principe est le même.
A cause de la correspondance de deux éléments successifs de la bande par symétrie centrale, le centre de symétrie correspondant doit se trouver sur le bord de l'autre bande. Ceci impose une contrainte supplémentaire sur le positionnement des bandes.
Si une seule des deux bandes est du type "T-strip", l'autre étant une "P-strip", la méthode est qualifiée plus précisément de "PT-strip".
Si les deux bandes sont des "T-strip", on obtient une dissection par "TT-strip"

Explicitons cette méthode avec la dissection PT-strip du pentagone en carré.

Ici aussi l'obtention d'une bande (P-strip) composée de carrés est évidente.
La formation d'une bande avec les pentagones peut être obtenue en découpant le "chapeau" BCD du pentagone et en le plaçant à côté pour former un trapèze ACDE.
Ce trapèze pave alors une T-strip, les centres de symétries de deux trapèzes adjacents étant bien entendu les milieux M et N des côtés.
La technique du T-strip consiste alors à placer la bande de carrés avec ses bords sur les centres de symétrie M et N
Mais ceci laisse une marge de manœuvre, la bande des carrés étant libre (c'est une P-strip !) de se déplacer sur elle même. On obtient ainsi une infinité de variantes de la dissection, avec le même nombre de pièces.
Dans certaines limites tout de même, qui si on les dépasse augmentent le nombre de pièces.

Fichier Geogebra
Dans l'applet, le point S est déplaçable le long du bord de la bande de carrés.
Le bouton "Constr" affiche la construction du côté du carré équivalent = BJ
La bande de carrés peut aussi être positionnée dans l'orientation symétrique (bouton "Inverse") pour obtenir un continuum de dissections différent, aussi en 6 pièces. Mais les limites autorisées sont beaucoup plus réduites : le côté R'G' du carré doit être entièrement à l'intérieur de la bande des pentagones, sinon plus de 6 pièces.
Noter que les deux directions possibles de la bande de carrés ne sont pas perpendiculaires ! (l'angle avec la bande des pentagones ne vaut pas 45°)
Les noms des points sont les mêmes que dans la page de solutions qui montre la dissection dans le cas limite où le côté QS du carré passe par B, orientation "directe". (bouton "Normal")

Formes de base

Toute la difficulté des techniques précédentes est dans le choix des dissections initiales, c'est à dire l'obtention de formes qui pavent une bande.
Si le triangle donne un T-strip évident et le carré un P-strip encore plus évident sans aucun découpage, il n'en est pas de même avec des polygones plus complexes.

Pavages du plan

Les pavages considérés ici sont des pavages 'translationnels' c'est à dire où chaque élément se déduit des autres par une simple translation périodique.
Les points correspondants dans ces translations forment eux même un pavage par des parallélogrammes, le plus petit parallélogramme ainsi défini est alors appelé le "motif de répétition", ou "maille" du pavage.
On forme alors deux pavages du plan, l'un avec le polygone P1, au besoin par une dissection préliminaire, l'autre de même avec P2, et on s'arrange pour que ces deux pavages aient le même motif de répétition.
En superposant ces deux pavages, avec une direction relative superposant leur motif de répétition, on obtient immédiatement une dissection de P1 en P2.
Selon le principe "ce qui dépasse est coupé et remis de l'autre côté", et comme le pavage est translationnel :

L'aire de la maille est égale à celle des deux polygones

Reste à décaler les deux pavages pour obtenir le nombre minimum de pièces.

Dans l'applet suivante, les deux pavages ne nécessitent aucune dissection préalable. Le pavage avec des carrés est sans commentaire. Le pavage avec des croix grecques est immédiat. Et il se trouve que ce pavage a comme par hasard une maille carrée ! (points verts).
Sans précaution particulière (position initiale), la dissection comporte 5 pièces.
On peut décaler les pavages (point rouge déplaçable) pour obtenir 4 pièces seulement. Il y a même une infinité de tels décalages.
Notons en particulier la dissection symétrique obtenue quand un sommet du carré est au centre de la croix, où les 4 pièces sont identiques par rotation.

Fichier Geogebra

La difficulté est ici aussi d'obtenir les dissections préalables judicieuses pour obtenir deux pavages de même maille.
Si dans l'exemple précédent aucune dissection préalable n'était nécessaire, il n'en est pas de même pour effectuer un pavage translationnel avec par exemple des dodécagones.

Pavages composites

Dans ces pavages du plan, on ajoute aux polygones P1 et P2 un polygone auxiliaire Q de sorte que (P1 + Q) pave le plan et que (P2 + Q) pave le plan. Alors que P1 seul ou P2 seul ne pave pas le plan.
Un exemple est ici le pavage par un octogone.
L'octogone P1 ne pave pas le plan, mais si on lui ajoute un carré Q, on obtient un pavage du plan (pavage "semi-régulier")
Il y a 4 carrés Q partagés avec les octogones voisins de sorte que finalement on a autant d'octogones P1 que de carrés Q et ainsi un carré par octogone.
Le pavage obtenu possède une cellule de base carrée, de sorte que l'on peut superposer un pavage composite formé de deux carrés P2 et Q, ayant lui aussi une cellule carrée.
On obtient ainsi une dissection de l'octogone en carré en superposant les deux cellules des pavages.

Fichier Geogebra

La cellule de base du pavage est indiquée par les points verts : le pavage est invariant par translation d'un point vert vers un autre.
Le point rouge draggable déplace le pavage des carrés parallèlement à lui même.
(les cellules de base des deux pavages devant se superposer, l'angle des pavages est imposé).
Le bouton "Constr" montre la construction des carrés de base équivallents à partir de l'octogone.
Selon le décalage entre les pavages, le nombre de pièces est différent.
Le minimum de 5 pièces est garanti tant que les petits carrés ne sont pas découpés.
La dissection est joliment symétrique si le petit carré est centré sur l'octogone (bouton "centré")
Au pire (bouton "Max"), un coin du petit carré vient dans un coin de l'octogone.

Les "slides"

Ces méthodes consistent à couper en deux parties la figure à disséquer et à faire glisser les deux moitiés l'une sur l'autre. Ce qui "dépasse" d'un côté est alors coupé et mis dans le vide correspondant de l'autre coté.
L'exemple le plus simple est le "P-slide" utilisé pour disséquer un rectangle en carré
Mais cette méthode dissèque en fait un parallélogramme quelconque en un autre parallélogramme.
La seule contrainte est ici AH = CM < AB/2
Le curseur déplace manuellement les deux morceaux (si votre PC est trop rapide lors du déplacement automatique ...)
A, B, C, H dragables définissent le parallélogramme ABCD et la coupure AM (et donc le parallélogramme cible équivallent)

Fichier Geogebra

 

 

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