Ceci ne garantit pas que ce nombre de pièces est le minimum absolu pour la dissection P1 ↔ P2,
car il pourrait exister des dissections meilleures :
- Avec une autre technique
- Avec d'autres dissections préliminaires pour la "mise en bandes"
Explicitons cette méthode avec une dissection de l'hexagone en carré
Le pavage d'une bande par des carrés est sans commentaire.
L'hexagone est coupé en deux et les deux moitiés mises côte à côte pour former le parallélogramme AEFD,
qui pave alors une bande par simple translation de module = AE
La partie commune TUVW d'intersection entre les deux bandes définit les découpes, ici au démarrage en 8 morceaux.
Ces morceaux sont alors laissés sur place ou bien translatés pour être mis dans le carré,
par translations de module = PQ
ou bien dans l'hexagone, par translations de module = AE.
Par conséquent :
Les côtés du parallélogramme commun sont égaux à UV = PQ et à TU = AE, en d'autres termes :
Les bords d'une bande passent par des points homologues de l'autre bande |
Dans l'applet, le déplacement des bandes parallèlement à elles mêmes est assuré par le déplacement de R
Le nombre minimum de pièces = 5 est obtenu avec le coin R du carré sur le coin F de l'hexagone (bouton "normal")
La construction du côté du carré équivalent à l'hexagone est aussi affichée :
cercle de diamètre DF et FK = FH = hauteur de la bande d'hexagones
L'aire de l'hexagone est DF.FH = DF.FK = FM², FM est donc le côté du carré.
Les triangles FHV et FKM (position normale R = U = F), égaux par rotation de 90°, montrent que la droite DM
est la direction de la bande de carrés.
On notera que QR (parallèle à FM) n'est pas parallèle à BC
Le calcul donne l'angle DFM = arccos(4√1/12 ) = 57.5°
On peut bien entendu effectuer la construction dans l'autre sens (à partir de D) mais c'est ici inutile
car la figure est la même en échangeant les deux moitiés de l'hexagone, c'est à dire en
considérant le morceau BEFC et le morceau suivant à droite comme élément du pavage de la bande d'hexagones.
Dans le cas général, si les morceaux ne sont pas échangeables, il faut essayer les deux orientations de
l'angle des bandes.
L'applet ne colorie pas les différents morceaux, car de nombre et de forme trop variables
en fonction de la position relative des bandes.
Explicitons cette méthode avec la dissection PT-strip du pentagone en carré.
Ici aussi l'obtention d'une bande (P-strip) composée de carrés est évidente.
La formation d'une bande avec les pentagones peut être obtenue en découpant le "chapeau" BCD du pentagone
et en le plaçant à côté pour former un trapèze ACDE.
Ce trapèze pave alors une T-strip, les centres de symétries de deux trapèzes adjacents étant bien entendu
les milieux M et N des côtés.
La technique du T-strip consiste alors à placer la bande de carrés avec ses bords sur les centres de symétrie M et N
Mais ceci laisse une marge de manœuvre, la bande des carrés étant libre (c'est une P-strip !)
de se déplacer sur elle même. On obtient ainsi une infinité de variantes de la dissection, avec le même nombre de pièces.
Dans certaines limites tout de même, qui si on les dépasse augmentent le nombre de pièces.
Dans l'applet, le point S est déplaçable le long du bord de la bande de carrés.
Le bouton "Constr" affiche la construction du côté du carré équivalent = BJ
La bande de carrés peut aussi être positionnée dans l'orientation symétrique (bouton "Inverse")
pour obtenir un continuum de dissections différent, aussi en 6 pièces.
Mais les limites autorisées sont beaucoup plus réduites :
le côté R'G' du carré doit être
entièrement à l'intérieur de la bande des pentagones,
sinon plus de 6 pièces.
Noter que les deux directions possibles de la bande de carrés ne sont pas perpendiculaires !
(l'angle avec la bande des pentagones ne vaut pas 45°)
Les noms des points sont les mêmes que dans la page de solutions
qui montre la dissection dans le cas limite où le côté QS du carré passe par B,
orientation "directe". (bouton "Normal")
L'aire de la maille est égale à celle des deux polygones |
Reste à décaler les deux pavages pour obtenir le nombre minimum de pièces.
Dans l'applet suivante, les deux pavages ne nécessitent aucune dissection préalable.
Le pavage avec des carrés est sans commentaire.
Le pavage avec des croix grecques est immédiat. Et il se trouve que ce pavage a comme par hasard une maille carrée !
(points verts).
Sans précaution particulière (position initiale), la dissection comporte 5 pièces.
On peut décaler les pavages (point rouge déplaçable) pour obtenir 4 pièces seulement.
Il y a même une infinité de tels décalages.
Notons en particulier la dissection symétrique obtenue quand un sommet du carré est au centre de la croix,
où les 4 pièces sont identiques par rotation.
La difficulté est ici aussi d'obtenir les dissections préalables judicieuses pour
obtenir deux pavages de même maille.
Si dans l'exemple précédent aucune dissection préalable n'était nécessaire, il n'en est pas de même pour effectuer
un pavage translationnel avec par exemple des dodécagones.
La cellule de base du pavage est indiquée par les points verts : le pavage est invariant par translation
d'un point vert vers un autre.
Le point rouge draggable déplace le pavage des carrés parallèlement à lui même.
(les cellules de base des deux pavages devant se superposer, l'angle des pavages est imposé).
Le bouton "Constr" montre la construction des carrés de base équivallents à partir de l'octogone.
Selon le décalage entre les pavages, le nombre de pièces est différent.
Le minimum de 5 pièces est garanti tant que les petits carrés ne sont pas découpés.
La dissection est joliment symétrique si le petit carré est centré sur l'octogone (bouton "centré")
Au pire (bouton "Max"), un coin du petit carré vient dans un coin de l'octogone.