Carré effacé - solution

J'ai tracé un carré sur le sable. Sur chacun de ses côtés j'ai placé une pierre.
Deux jours après, les pierres n'ont pas bougé de place, mais le carré est effacé.
Sauriez vous retrouver le tracé du carré ?

Soit M le centre du carré. Une rotation de 90° le laisse inchangé.
C'est à dire que AB devient BC, BC devient CD, CD devient DA et DA devient AB.
Dans cette rotation PR devient P'R' avec P' sur BC et R' sur DA.
Une translation de vecteur R'S transforme alors P'R' en P"R" avec R" = S et P" = G restant sur BC.

D'où la construction :
Construire la perpendiculaire à PR issue de S et construire sur cette perpendiculaire SG = PR
Tracer GQ, c'est un côté du carré.
Tracer alors la parallèle à GQ de S et les perpendiculaires à GQ issues de P et R.

Une autre solution :

AP _|_ AS donc A est sur le demi-cercle de diamètre PS, extérieur à PQRS.
La diagonale AC, bissectrice de l'angle A, passe par I, milieu de l'arc PS opposé à A.
De même pour C, AC passe par J milieu de l'arc QR opposé à C.
Et donc la construction :
Tracer les cercles de diamètres PS et QR.
Tracer les milieux I et J des arcs PS et QR côté intérieur à PQRS.
I J  recoupe les cercles en A et C. Complèter le carré en traçant AP, AS, CQ et CR.

Il existe encore d'autres méthodes de constructions...

Prolongations

Si les pierres sont sur les droites indéfinies supports des côtés du carré, ceci veut dire que l'on peut choisir librement (dans la 1ère construction) :
 -  La "diagonale" concernée : PQ, PR ou PS
 -  Le sens de SG (QG sur la figure, voir Nota : G1 et G2)
Soit 3×2 = 6 solutions definies par G₁ à G₆.

Nota :
 -  Le choix de tracer la perpendiculaire à PR de S ou de Q donne les mêmes solutions.
    Ici, à partir de Q (pour une figure plus compacte).
 -  Choisir la diagonale PR ou la diagonale QS donne les mêmes solutions.
Il n'y a donc que ces 6 possibilités.

Le choix d'une diagonale revient à choisir l'ordre des points PQRS sur le carré.
Les 'diagonales' PQ et PS correspondent aux quadrilatères croisés PRQS et PRSQ.
Si PQRS sont sur les côtés (segments), PQRS est convexe, un seul choix de diagonale (PR, ou QS), et la perpendiculaire doit être choisie en direction du 4ème sommet : une seule solution éventuelle, définie par G₁.

Discussion

Revenons au cas où les pierres sont sur les côtés même.
Les constructions ci-dessus donnent une seule solution au plus, sauf cas dégénéré.
Tout d'abord, dans la 1ère construction, si G est confondu avec Q, la droite GQ est indéterminée et ceci donne une infinité de solutions.

Si les diagonales PR et QS sont perpendiculaires et égales, il y a une infinité de solutions

Cette condition est équivallente à I et J confondus dans la 2nde construction :
le point d'intersection des diagonales PR et QS est alors le deuxième point d'intersection des cercles (PS) et (QR), le premier étant I = J.

Nous allons définir les conditions pour lesquelles 4 pierres données à priori peuvent être sur les côtés d'un carré.
En particulier étant donné 3 points QRS, pour quels points P les points PQRS sont sur les côtés d'un carré.
Bien évidemment le quadrilatère PQRS doit être convexe. Et qui plus est, si l'ordre des côtés est fixé, dans cet ordre. Si l'ordre est indifférent, les 3 régions conviennent, sinon une seule, ou aucune si le sens de parcours est imposé et incompatible avec le sens de parcours du triangle QRS.

Ce critère est toutefois insuffisant.
Choisissons donc une de ces régions, la diagonale QS et la perpendiculaire à QS issue de R, enfin RG = QS en direction de la région contenant P.

La droite GP ne doit tout d'abord pas couper un des côtés du triangle QRS.
Bien entendu G doit déja être à l'extérieur du triangle QRS, mais ceci limite aussi la région du point P par les droites GQ et GS dans les secteurs ne contenant pas la droite RG.

GPA _|_ AS donc A est sur le cercle de diamètre GS, de même B est sur le cercle de diamètre GQ.
Puisque P doit être entre A et B, P est à l'intérieur des demi-cercles (GS) et (GQ).

Enfin pour que R soit sur le segment CD, ni la droite AS ni la droite BQ ne doivent couper le triangle QRS.
Ceci se traduit par une limite définie par les perpendiculaires GH à RS et GL à RQ.
P doit être dans les secteurs délimités par ces droites ne contenant pas RG.

Il reste finalement ici les morceaux des demi-cercles (GS) et (GQ), délimités par la droite GH perpendiculaire à RS.

Si l'ordre des points n'est pas précisé, il faut traiter de même les deux autres régions.
G₁ correspond à PQRS et la diagonale QS étudiée ci-dessus.
G₂ correspond à PRSQ et la diagonale RQ.
Enfin G₃ est intérieur au triangle RSQ et aucun point P pour PSQR et la diagonale RS.
Noter les tout petits morceaux manquant des demi-cercles (G₁S), limité par la droite G₁Q, et (G₂S), limité par G₂Q, car ici les angles SG₁Q et RG₂Q sont obtus.

Noter que le plus grand carré avec QRS donnés est pour AB // QS (dans l'ordre PQRS), ou AB // QR (dans l'ordre PRSQ).
Le plus petit est avec un sommet en Q, R ou S.

Bonus : Généraliser à un n-gone régulier.
Nouveau : Généraliser en remplaçant les points par des cercles. (carré tangent à 4 cercles donnés)