Il y a une solution élémentaire, dérivée de la preuve du "théorème du papillon"" normal,
Mais je donnerais une preuve extrèmement courte utilisant la géométrie projective.
Tout d'abord généralisons le problème :
Etant donné une conique (C), un point P, et une droite (L) passant par P.
Tracer deux sécantes quelconque à la conique PCD et PEF. La droite DE coupe (L) en A, et CF coupe (L) en B. Montrer que le conjugué harmonique de P par rapport à AB est un point fixe Q, pour toutes les sécantes PCD,PEF. |
Considérons le faisceau de coniques passant par C,D,E,F.
La polaire de P pour chaque conique est une droite fixe (p).
La construction de C,D,E,F est une construction classique de cette polaire :
I intersection de CF et DE, J intersection de CE et DF,
I et J sont conjugués de P, donc la polaire est la droite IJ.
Dans l'applet Geigebra, et le problème d'origine, la conique donnée est un cercle.
Le point P et la droite (L) peuvent être changés en déplaçant les points correspondant.
Les deux sécantes peuvent être changées en déplaçant les points C et E.
Pour un P et sécantes données, une conique du faisceau peut être choisie en déplaçant le point R.
le bouton ⊥ place (L) perpendiculaire à (OP)
Retournons à notre démonstration.
Donc toute droite passant par P coupe une conique du faisceau en a,b (réels ou imaginaires),
et coupe la polaire en q. q est le conjugué de P par rapport à a, b.
Il y a 3 coniques dégénérées dans le faisceau :
- les deux droites DE et CF (se coupant en I)
- les deux droites DF et CE (se coupant en J)
- les deux droites CD et EF (se coupant en P)
La première (droites DE et CF) est juste ce qu'il nous faut, elle coupe (L) en A et B.
Soit Q l'intersection de (L) avec la polaire de P, (PQAB) est une division harmonique.
C'est à dire que le conjugué de P par rapport à A,B est un point fixe Q :
intersection de la droite donnée (L) avec la polaire (p) de P commune aux coniques du faisceau.
CQDF.
Cas particulier :
La conique est un cercle et OP perpendiculaire à (L).
La polaire de P est alors parallèle à (L), donc Q est le point à l'infini de (L),
et comme (PQAB) est harmonique, P est le milieu de AB.
Cette démonstration ne dépend pas de P intérieur ou extérieur au cercle,
c'est donc aussi une démonstration du théorème du papillon "normal".
Déplaçant P à l'intérieur du cercle dans l'applet ci-dessus montre un théorème du papillon "normal",
avec comme corde (L) = UV.
Prouver :
CDEF sont cocycliques et le centre du cercle circonscrtit est sur la médiatrice de AB. |
La première partie est évidente car l'angle ADP est le même que l'angle EDC,
et l'angle PFB le même que l'angle EFC,
Les angles EDC = EFC, et donc CDEF cocycliques.
Il faut maintenant prouver que le centre est sur la médiatrice :
D'après le théorème direct, la droite IJ est la polaire de AB,
elle coupe AB en Q et [ABPQ] est une division harmonique.
Ici, comme P est le milieu de AB, le point Q est à l'infini,
et donc la polaire est parallèle à AB.
Donc OP (qui est perpendiculaire à la polaire de P) est perpendiculaire à AB.
CQFD.