Papillon II - solution


Etant donné un cercle (C) de centre O, un point P extérieur au cercle,
et une droite (L) passant par P et perpendiculaire à OP.
Tracer deux sécantes quelconques PCD et PEF.
La droite DE coupe la droite (L) en A, et CF coupe (L) en B.
Montrer que P est le milieu de AB

Il y a une solution élémentaire, dérivée de la preuve du "théorème du papillon"" normal,
Mais je donnerais une preuve extrèmement courte utilisant la géométrie projective.

Tout d'abord généralisons le problème :

Etant donné une conique (C), un point P, et une droite (L) passant par P.
Tracer deux sécantes quelconque à la conique PCD et PEF.
La droite DE coupe (L) en A, et CF coupe (L) en B.
Montrer que le conjugué harmonique de P par rapport à AB est un point fixe Q, pour toutes les sécantes PCD,PEF.

Considérons le faisceau de coniques passant par C,D,E,F.
La polaire de P pour chaque conique est une droite fixe (p).
La construction de C,D,E,F est une construction classique de cette polaire :
I intersection de CF et DE, J intersection de CE et DF,
I et J sont conjugués de P, donc la polaire est la droite IJ.

Dans l'applet Geigebra, et le problème d'origine, la conique donnée est un cercle.
Le point P et la droite (L) peuvent être changés en déplaçant les points correspondant.
Les deux sécantes peuvent être changées en déplaçant les points C et E.
Pour un P et sécantes données, une conique du faisceau peut être choisie en déplaçant le point R.
le bouton ⊥ place (L) perpendiculaire à (OP)

Fichier Geogebra

Retournons à notre démonstration.
Donc toute droite passant par P coupe une conique du faisceau en a,b (réels ou imaginaires),
et coupe la polaire en q. q est le conjugué de P par rapport à a, b.

Il y a 3 coniques dégénérées dans le faisceau :
- les deux droites DE et CF (se coupant en I)
- les deux droites DF et CE (se coupant en J)
- les deux droites CD et EF (se coupant en P)

La première (droites DE et CF) est juste ce qu'il nous faut, elle coupe (L) en A et B.
Soit Q l'intersection de (L) avec la polaire de P, (PQAB) est une division harmonique.
C'est à dire que le conjugué de P par rapport à A,B est un point fixe Q :
intersection de la droite donnée (L) avec la polaire (p) de P commune aux coniques du faisceau.
CQDF.

Cas particulier :
La conique est un cercle et OP perpendiculaire à (L).
La polaire de P est alors parallèle à (L), donc Q est le point à l'infini de (L), et comme (PQAB) est harmonique, P est le milieu de AB.

Cette démonstration ne dépend pas de P intérieur ou extérieur au cercle, c'est donc aussi une démonstration du théorème du papillon "normal".
Déplaçant P à l'intérieur du cercle dans l'applet ci-dessus montre un théorème du papillon "normal", avec comme corde (L) = UV.

Une réciproque

Fichier Geogebra Etant donnés deux points fixes A et B et la médiatrice de AB, P le milieu de AB.
Pour tout points D et F tels que l'angle PFB = angle ADP, soit C l'intersection de BF et PD et soit E l'intersection de PF et AD
Selon le choix de D,F, on a une configuration de papillon "normal" ou "Mina".

Prouver :

 CDEF sont cocycliques et le centre du cercle circonscrtit est sur la médiatrice de AB. 

F peut être choisi n'importe où dans le plan, D est alors astreint (par la condition d'angles) à être sur le cercle cyan.
D peut alors être déplacé librement sur ce cercle.

La première partie est évidente car l'angle ADP est le même que l'angle EDC, et l'angle PFB le même que l'angle EFC,
Les angles EDC = EFC, et donc CDEF cocycliques.

Il faut maintenant prouver que le centre est sur la médiatrice :
D'après le théorème direct, la droite IJ est la polaire de AB, elle coupe AB en Q et [ABPQ] est une division harmonique.
Ici, comme P est le milieu de AB, le point Q est à l'infini, et donc la polaire est parallèle à AB.
Donc OP (qui est perpendiculaire à la polaire de P) est perpendiculaire à AB.
CQFD.

 

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