Carré à ficelle - solution

Commençons par donner la Construction Fondamentale des Géomètres (CFG) : le carré.
Relions bout à bout deux cordes par un noeud pour obtenir une corde deux fois plus longue avec un noeud au milieu.
A et B aux deux extrémités tendent la corde, C se place au milieu

D prend le milieu de la corde et la tend, avec B et C immobiles aux deux bouts.

L'angle ADB est un angle droit (D sur le cercle de diamètre AB)

C redonne l'extrémité de la corde à A, et l'autre extrémité à D.
A tend la corde (sans bouger), C se rend au noeud.

A confie les extrémités à C et B, prend le noeud et tend la corde.

(A chaque étape les géomètres rouges restent où ils étaient après l'étape précédente)

Pentagone

Les 4 premiers Géomètres forment avec leurs cordes deux triangles équilatéraux ABC puis ABD.
Le 5ème Géomètre E donne 4 cordes liées bout à bout à A, puis B, puis C, puis D et D la tend.
Enfin E se rend à l'intersection.

Les Géomètres B et D sont alors libres et vont construire deux autres triangles équilatéraux AB'C et B'CD'
Enfin B se libère et donne la corde à A puis D, D la tend et B se rend au noeud B" avec AB" = 1
Ainsi AB" _|_ AE et AE = AB"/2. Les Géomètres C et D sont libérés.

C donne la corde à A, E puis B qui la tend. C se rend au noeud à AE+EC = 1.
E libère la corde et C la tend en C' avec AC' = 1 et BC' = BC = (√5 - 1)/2

B et C' sont deux sommets du décagone.
D vient alors prendre le noeud de C et le tend de l'autre côté.
CBD sont trois sommets consécutifs du décagone et donc CD un côté du pentagone.

B redonne la corde à C qui la retend, puis B va chercher le noeud des mains de D et va de l'autre côté.

La même méthode permet alors à E de se placer : il donne le noeud à C et la corde à B, qui tend.
Puis E vient prendre le noeud des mains de C et va de l'autre côté.

La difficulté maintenant vient que seul A peut se déplacer et qu'il n'est pas possible de "transfèrer" un point de main en main sauf s'il s'agit d'un noeud (pas de marque ni de noeud sur une corde !) De plus le côté du pentagone est > la longueur d'une simple corde ( = DA), et il n'y a que 5 cordes en tout !
A s'en sort de la manière suivante :
Il noue les 5 cordes bout à bout, donne l'extrémité à D et le 2ème noeud à C puis D tend la corde.
C lâche et A va donner le 3ème noeud à B. Ceci est possible puisque BD < CD+1.
Il poursuit ensuite son périple et donne le reste (de longueur 2) de la corde à E qui tend, B gardant le noeud.
Enfin B lâche le noeud et A rassemble les noeuds 2 et 3 pour se placer au point AE = BE, AD = CD.

Récapitulatif :

6 Géomètres

Il suffit de placer 4 triangles équilatéraux :
ABC sur une double corde, B au milieu. Doubles cordes en ADB, puis BEC et BFC.

Enfin, B se déplace en gardant le milieu de la double corde ABF.

7 Géomètres

Cette construction est impossible à la règle et au compas, mais nos Géomètres avec leur corde sont bien plus efficaces !
Nous verrons lors de l'ennéagone avec 9 Géomètres comment trisecter un angle avec la corde, ce qui permet de construire exactement l'heptagone.
Pour l'heure la construction de l'heptagone est trop compliquée et je ne la donnerais pas, de même que les constructions à 13, 17 et 19 Géomètres.
Voir les constructions approchées plus simples.

8 Géomètres

On peut construire un carré ABCD.
Puis E confie la double corde à A et C, C tend et E va se placer au noeud (AE = 1).
F confie une extrémité de la double corde à B, et la tend de façon que A se trouve dessus (au noeud d'ailleurs). F est alors le symétrique de E par rapport à A.
C prend le noeud de la double corde D - F et tend (en C'), puis G se place au noeud de la double double corde AC' tendue par C'.
C tend la double corde en C" depuis E, de façon que A soit dessus. H opère de même avec D.
A ne peut plus effectuer la manoeuvre précédente, il faudrait un 9ème Géomètre ! Il opère autrement.
A confie le noeud médian d'une quadruple corde à G et les extrémités à E et C" qui tendent cette corde, et gardent en main le point obtenu. A prend alors le noeud des mains de G et va de l'autre côté en A'.

9 Géomètres

Grâce à la trisection de l'angle, il est possible aux 9 Géomètres de se positionner exactement.
ABC sur une double corde, B au milieu. Puis BDA et DEA.
F confie une triple corde à E et vient sur BC avec son extrémité, en C.
G tend une corde entre A et cette triple corde.
Enfin E tire la corde, F suivant la corde BC, et G suivant la corde FE en gardant GA tendue, jusqu'à ce que G arrive au noeud de la corde FE.
L'angle GAB vaut alors EAH/3 = 60°/3 = 20° et GD est le côté d'un ennéagone régulier de rayon 1.
(en comparant les angles des triangles isocèles FGA et GAE, l'angle EGA = 2×GAB et donc EAB = 180° - 3×GAB)
Il est ensuite aisé de complèter l'ennéagone.
Les points C et H sont toutefois obtenus directement par des doubles cordes BCA et EHA avant départ de B et E.
Enfin A se place en dernier par la même manoeuvre qui nous a déjà servi pour terminer le pentagone.

10 Géomètres

Ceci a été vu avec 5 Géomètres, puisque le début consiste justement à déterminer des sommets du décagone.

11 Géomètres

Un trisecteur ne suffit pas pour construire le polygone à 11 côtés et par conséquent les Géomètres évitent de se retrouver à 11 !
Dans ce cas ils peuvent utiliser une construction approchée.

Comme dernier exemple :

12 géomètres

Placer les deux triangles équilatéraux ABC et BCD.
Puis E au noeud de la double corde AD, d'extrémité A.
Complèter alors les hexagones de centre A par D, noeud d'une double corde EDA, et de même GIJL puis FHK.
Enfin retourner A vers l'extèrieur sur la double corde KAH.

La danse des 14 géomètres se déduit aisément de 7, celle à 15 Géomètres de 3 et 5, de même 16 de 8, 18 de 9 et enfin 20 se déduit de 10. Nous nous arrêterons là.

Constructions approchées

Pour 11 Géomètres, la construction exacte est impossible. Pour 7, 13, 17 la construction exacte est possible mais trop compliquée.
Pour ces cas, une construction approchée est souhaitable.
De façon générale, un polygone régulier à n côtés peut être construit avec le règle, le compas et un trisecteur ssi n = 2^k3^m∏p_i,
avec p_i des nombres premiers de la forme 2^a3^b + 1 différents.
(sans trisecteur, les nombres premiers sont seulement les nombres de Fermat 2^a + 1, et pas de facteur 3^m)

Je vais donner l'adaptation à nos jeux de ficelles de la construction approchée de Renaldini de l'heptagone.
Cette méthode est généralisable aux autres 2n+1 gones (et aux 4n+2 gones).

Tout d'abord les Géomètres A et B tendent une double corde et C se place au milieu sur le noeud.
Puis toutes les cordes sont mises bout à bout pour placer D avec AD = 4 et BD = 3.
E se place sur le noeud à distance 2 de C.
F prend la corde de E et se place dans le prolongement de BD (c'est B qui tient l'autre bout bien sûr), DF = 2.
D reprend l'extrémité de la corde et tend D'F, dans l'alignement de E.
Bxyz est un rectangle et EF // Bz.
E saisit la corde D'F pour imobiliser le segment D'E.
F redonne son tronçon à A et C pour matérialiser AC, et se place à l'intersection de AC et D'E. AF'/AB = AE/Az = 2/7.
C'était le but de cette construction , un segment AB de longueur 2 et de milieu C, et le point F' avec AF' = 2/7 AB.
La construction de Renaldini proprement dite peut alors commencer à partir des Géomètres A,B,C,F'.

D donne l'extrémité de la corde à A, puis le 4ème noeud à B, garde le 2ème noeud, et tend la corde pour former le triangle équilatéral ABD.
E donne la corde à C et D, prend le noeud à distance 1 de C et tend la corde jusqu'à ce que F soit dessus.
L'angle ACE est une approximation de 2π/7 à 5' d'arc près et AE est le côté de l'heptagone à 0.2%.

A,C,E restent en place et la construction de l'heptagone peut s'achever.

B donne une extrémité d'une double corde à C, le noeud à E et le reste à A qui tend AE.
Puis B prend le noeud de E et va de l'autre côté BA = EA.
D, F et G opèrent de même DB = AB, FE = AE et GF = EF.
Enfin C donne une extrémité de corde à F, le reste à G qui tend.
Puis il va donner une extrémité de triple corde à D, et le 1er noeud à B.
D tend, puis C reprend le noeud de B et utilise le reste de la triple corde pour aller chercher l'extrémité de F.
Enfin il récupère en remontant la corde le noeud de B et se place ainsi avec C'D = BD et C'G = FG.