Dissections - solutions
Découper une figure en morceaux qui peuvent s'assembler pour former une autre figure.
Echauffement...
Découper un rectangle pour former un carré.
Reporter DH = AD.
La perpendiculaire à CD en H coupe le cercle de diamètre CD en M.
Reporter DG = BE = DM.
La perpendiculaire en G à CD coupe CE en F.
DM² = DH×DC (construction de la moyenne proportionnelle) donne le côté du carré de surface AD×CD. On vérifie par translation le long de CE des pièces CFG et BCE la reconstitution du carré.
Si le rectangle est très aplati (CD>4AD), la construction ne fonctionne plus
car le point F est en dehors du segment CE.
Une solution est de couper en deux le rectangle pour reformer un rectangle plus épais jusqu'à ce que
la construction soit possible, mais ceci augmente le nombre de pièces.
Le nombre de pièces minimum n'est d'ailleurs pas borné : un rectangle filiforme de largeur "a" quasi nulle
et de longueur "b" très grande nécessiterait de l'ordre de √b/a pièces.
Une meilleure solution est vue plus loin.
Si la largeur est suffisante (CD<2AD) la "méthode des bandes" fournit une solution plus simple :
La solution précédente étant ainsi à réserver au cas 2AD<CD<4AD
Cas particulier : rectangle de 9x16
Le principe utilisé ici est celui dit "des escaliers".
Il ne fonctionne qu'avec des valeurs particulières des dimensions.
Si k est le nombre de marches : ka × (k+1)b = (k+1)a × kb.
Si on veut un carré (k+1)a = kb et les côtés sont mk² et m(k+1)², k entier.
A propos de cas particuliers, mentionnons la dissection du carré de 5×5 en deux carrés de 3×3 et 4×4 en 4 pièces seulement. La dissection d'un carré en deux carrés nécessite 5 pièces dans le cas général. Dans le cas de certains triplets de Pythagore, il suffit de 4 pièces.
Rectangles allongés
Nous avons vu précédement que si a < b < 4a, le rectangle a×b peut se dissecter en carré en 3 morceaux,
et même 2 si a/b = k²/(k+1)² avec k entier.
Etudions ici le cas b > 4a. Nous allons viser tout de suite un b/a très grand, et généraliser ensuite.
Sur le côté AB = b reportons BH = BC = a, traçons le cercle de diamètre AB et la perpendiculaire HE à AB coupant ce cercle en E.
BE² = BH.BA = a.b et donc BE est le côté du carré équivallent.
Reportons sur AE autant de fois que nécessaire la distance BE = BF = FM = MN
et traçons les perpendiculaires à AE en ces points.
On obtient n segments sur AE : (n-1)√a.b < AE < n√a.b
et n + 2 morceaux du rectangle ABCD pour former le carré équivallent BEFG.
Comme AE² = AB² - BE² = b² - ab, on obtient la condition de découpe en n + 2 morceaux :
| (n - 1)² + 1 < b/a < n² + 1 |
Mais pourquoi faire si compliqué ?
En reportant le côté du carré BE = c le long du rectangle, on obtient m-1 rectangles c×a,
m.c < b < (m+1)c. Cette condition s'écrivant
| m² < b/a < (m+1)² |
Reste un rectangle de dimensions (b - (m-1)c) × a que l'on peut disséquer en 3 morceaux seulement pour complèter le carré :
Reporter une dernière fois MN = c et reporter AG = c pour obtenir DG et NK.
Au total on n'a besoin que de m - 1 + 3 = m + 2 = n + 1 morceaux au lieu de n + 2.
Finalement :
| 1 < b/a < 4 | 2 morceaux si b/a = (k+1)²/k² |
| 3 morceaux sinon | |
| 4 < b/a < 9 | 4 morceaux |
| 9 < b/a < 16 | 5 morceaux |
| 16 < b/a < 25 | 6 morceaux |
| ... | |
Bien entendu si b/a = k², k morceaux rectangulaires suffisent !
Le dernier rectangle peut aussi être découpé en 2 pièces seulement, selon ses dimensions.
Par exemple un rectangle de dimensions 4×25 se dissèque en carré avec 3 pièces seulement :
b/a = 6.25 indiquerait "normalement" 4 pièces.
Citons au passage la dissection d'un rectangle de 5×13 en carré de 8×8... sans commentaire.
Solution
D'autres dissections sont à considérer si on ajoute des contraintes au problème.
Par exemple des dissections articulées :
Ici, le rapport maximal des cotés du rectangle est 16/9.
Le point rouge déplaçable choisit ce rapport
Une application de la dissection d'un rectangle en carré :
un carré = 3 carrés
Découper un carré pour que les morceaux forment 3 carrés égaux.
Il est plus facile de partir des 3 carrés, accolés pour former un rectangle de 1×3.
Découper alors ce rectangle en carré. CM = CE, DH = BM
En partant du grand carré, tracer la droite AM à 30°, BM est le côté des petits carrés,
reporter cette distance pour tracer les autres découpes.
Ce problème était proposé par E. Lucas en 7 morceaux !
Dans la foulée, il propose de dissecter un carré en deux carrés dont l'un est de surface double de l'autre,
en 8 pièces (alors que la découpe d'un carré en deux carrés se fait au plus en 5 pièces) !
Ceci lui permettait en fait d'introduire le problème suivant :
Un carré en 3 carrés d'aires proportionnelles à 2:3:4
O centre du carré ABCD, CE = CO, CN _|_ DE, MN = CN.
tracer la perpendiculaire en M à DE.
AH _|_ DE, HS _|_ AD et HP _|_ AB.
Enfin RS = HS et tracer la perpendiculaire en R à AD. Les côtés des carrés sont HS, CN et HP.
Il est aisé de constater que les pièces RR'HS et DSH forment un carré par rotation de la pièce DSH autour de H de 90°,
de même pour les pièces MNCM' et CNE en faisant pivoter la pièce CNE autour de C.
En faisant pivoter la pièce APH autour de H de 90° , elle complète la pièce PBEH pour former un carré sauf un petit bout dont il faut montrer qu'il se remplit avec les pièces ARR' et DMM'. Ce sera fait en démontrant que DM' = BE, DM = AR' et HP = AR + AP.
Cette dernière propriété est immédiate puisque AP = HS = RS et que AS = HP.
Tous les triangles rectangles de la figure sont semblables (angles à côtés perpendiculaires) et le rapport de leurs côtés de l'angle droit est :
CD/CE = CD/CO = √2. DM/DN = (DN – MN)/DN = 1 – MN/DN = 1 – CN/DN = 1 – √2/2 = k
De même AR/AS = k donc AR'/AH = AR/AS = DM/DN
Les triangles DNC et AHD sont égaux (puisque AD = CD) donc AH = DN. Par conséquent AR' = DM.
DM'/DC = DM/DN = k et comme directement BE/BC = k aussi, DM' = BE.
Toutes les pièces s'assemblent donc bien en trois carrés.
Reste à montrer que les côtés sont proportionnels à 1, √3/2 et √2.
On a déjà montré que HP/HS = √2. Reste à calculer NC/HS = HD/HS.
Le théorème de Pythagore dans le triangle DSH donne DH² = DS² + SH² = (SH/√2)² + SH² = 3/2 SH². CQFD.
Mais foin des dissections "historiques" !
Frederickson a montré que dans ce cas la dissection de 3 carrés en un seul nécessite 7 pièces seulement !
Par rapport à la dissection précédente, celle qu'il propose est beaucoup plus intuitive :
Dans le carré de 3×3, on découpe un carré de 2×2 et deux rectangles de dimensions (3-2)×2 et (3-2)×3
L'aire de ces 3 morceaux est ainsi 2, 3 et 4 comme souhaité.
Il suffit alors de transformer chacun des deux rectangles en carrés par la méthode maintenant connue,
chacun en 3 morceaux, pour n'avoir en tout que 3 + 3 + 1 = 7 pièces !
Voir aussi le cas général de la dissection de 3 carrés en un seul, qui nécessite 8 pièces.
Des cas particuliers nécessitent encore moins de pièces : 5 pièces pour la dissection 2² + 3² + 6² = 7²
Théorème de Wallace-Bolyaï-Gerwein
| Etant donnés deux polygones quelconques de même aire, il est possible de disséquer l'un en l'autre en un nombre fini de morceaux. |
Découper un carré de sorte que les morceaux forment le même carré, incliné de 45 degré, mais sans faire pivoter ou retourner les morceaux.
A partir d'un rectangle de 1x2, on forme soit le carré à côté parallèles au rectangle soit le carré
à 45° par simple translation des pièces.
Mais ceci nécessite 6 pièces.
Une meilleure solution existe avec 5 pièces seulement,
et permet même de faire pivoter le carré d'un angle 2α quelconque entre 0 et 45°.
On commence par couper un coin à 22.5° (de façon générale à α) pour former un parallèlogramme (1).
On recoupe ce parallélogramme à 2α pour former le parallélogramme (2)
Enfin on recoupe ce parallélogramme à α pour former le carré pivoté de l'angle 2α (3).
Ce qui donne finalement un découpage en 5 pièces :
D'autres méthodes avec 5 pièces.
