Triangle équilatéral inscrit - Solution

Etant donné un triangle ABC quelconque, trouver 3 points P,Q,R sur les côtés pour que PQR soit équilatéral.
Trouver le plus grand / le plus petit triangle PQR possible.

Choisissons arbitrairement P sur AB. Le problème consiste alors à construire un triangle équilatéral PQR, Q et R sur deux droites données, problème classique :

Méthode classique

Soit donc à construire un triangle équilatéral PQR, P donné et Q,R sur deux droites D1 et D2 données.

PQR étant équilatéral, R est l'image de Q dans une rotation de centre P et d'angle ± π/3. Le lieu de Q étant la droite D1, le lieu de R est l'image D'1 de D1 dans cette rotation. Mais le lieu de R est aussi D2. R est donc le point d'intersection de D2 avec D'1. Q est alors l'image de R dans la rotation inverse.

Il y a généralement deux solutions, correspondant au ±, sauf si les deux droites forment un angle de π/3 car alors D'1 est parallèle à D2 : une seule solution, ou D'1 confondue avec D2 : une infinité de solutions.
Dans le cas qui nous intéresse, une seule solution au plus convient pour Q,R sur les segments BC,AC.

Autre méthode

Au lieu de fixer P sur un côté, on peut chercher PQ parallèle à une direction (d) donnée.
Une parallèle à (d) coupe BA et BC en T et U.
Construire un triangle équilatéral TUV, du côté de TU opposé à B.
La droite BV coupe AC en R. Les parallèles aux côtés TV et UV issues de R coupent BA en P et BC en Q.
Le triangle PQR se déduit de TUV par une homothétie de centre B et est donc équilatéral, et ses sommets sont sur le triangle, et PQ // TU // (d).
Cette méthode nous sera utile pour la construction de PQR minimum.

Une 3éme méthode ...

Choisissons un point M quelconque sur AC. Traçons deux droites issues de M faisant un angle de ± π/3 avec AC, et coupant AB en P et BC en Q. La médiatrice de PQ coupe AC en R et PQR est équilatéral !
Pour s'en convaincre, traçons le cercle circonscrit à MPQ, il recoupe AC en S. Les angles inscrits QMP et QSP sont égaux, de même PQS = PMS et le triangle SPQ est équilatéral, tous ses angles valant π/3. La médiatrice de PQ passe donc par S et par conséquent S et R sont confondus. CQFD.

Toutes ces méthodes fournissent une infinité de triangles PQR équilatéraux, de sommets sur les côtés d'un triangle ABC donné.

Triangle PQR maximal

PQR sera bien entendu maximal si un de ses côtés est sur un des côtés de ABC, et donc pour satisfaire la condition que chacun de P,Q,R est sur un côté différent de ABC, un des sommets P,Q,R est en A,B,C. Un au moins des angles de ABC est ≥ π/3, donc au moins une possibilité de mettre P,Q,R dans un angle. Un au moins est ≤ π/3, ceci élimine au moins deux cas parmi les 6. Une comparaison directe des candidats restants donne alors le PQR maximal.

Triangle PQR minimal

Un cas particulier relativement simple :
Si l'angle C vaut 120°, on est dans le cas des deux droites avec un angle de 60°. La construction n'est alors posssible que si le point P est sur la bissectrice de l'angle C : tous les triangles équilatéraux PQR ont le même point P !

Le triangle minimum est alors "visiblement" celui avec QR perpendiculaire à cette bissectrice : Le cercle circonscrit à PQR passe par C, il sera le plus petit (et donc PQR aussi) quand PC sera un diamètre de ce cercle. QR est alors la perpendiculaire au 1/4 de la bissectrice depuis C (ou encore PQ et PR sont perpendiculaires à BC et CA).

Ne disons rien du cas trivial où ABC est lui même équilatéral ...

Le cas général est plus ardu.

Considérons le triangle TUV parallèle à PQR passant par les sommets de ABC et appelons x l'angle APR
Alors ARP = π - A - x (somme des angles de APR)
en P : QPB = π - x - π/3 = 2π/3 - x, et dans le triangle PQB l'angle PQB = π - B - (2π/3 - x) = π/3 - B + x.
Dans le triangle APR : PR/sin(A) = AP/sin(π - A - x)
Dans le triangle PQB : PQ/sin(B) = BP/sin(π/3 - B + x)
Comme AP + PB = AB et PQ = PR : AB/PQ = sin(A+x)/sinA + sin(π/3 - B + x)/sin(B)

Considérons maintenant les triangles ACV et BCU
L'angle CAV = ARP = π - A - x (PR//AV) et donc CV/sin(π - A - x) = AC/sin(π/3)
De même dans BCU : CU/sin(π/3 - B + x) = BC/sin(π/3) et donc UV = AC.sin(A + x)/sin(π/3) + BC.sin(π/3 - B + x)/sin(π/3)

Comme AC/sin(B) = BC/sin(A) = AB/sin(C) : UV = AB.sin(B)sin(A)/(sin(C)sin(π/3)) × (sin(A + x)/sin(A) + sin(π/3 - B + x)/sin(B)) = AB.sin(B).sin(A)/(sin(C)sin(π/3)) × AB/PQ

Une première conclusion immédiate est que UV.PQ = cte   Et par conséquent :

PQR minimal ⇔ TUV maximal

De façon plus précise, aire(ABC) = 1/2 AB.AC sin(A) = 1/2 AB²sin(A)sin(B)/sin(C), Aire(TUV) = 1/2 UV²sin(π/3) et Aire(PQR) = 1/2 PQ²sin(π/3) donc :

Aire(TUV)/Aire(ABC) = Aire(ABC)/Aire(PQR)

Mais maintenant le problème de trouver TUV maximal a été résolu (triangle effacé). Rappelons le résultat : TUV maximal s'il est parallèle au "triangle de Napoléon" IJK, formé par les centres des triangles équilatéraux construits sur les côtés de ABC, extérieurement à ABC, ou encore centres des cercles d'où on voit les côtés sous un angle de π/3, extérieurement à ABC. Comme PQR min // TUV max :

PQR minimal ⇔ PQR // IJK

Une construction simple de PQR min est alors :
Construire les triangles équilatéraux extérieurs à ABC sur les côtés AC et BC, et leur centres I et J.
La droite IJ, ou une parallèle, coupe BC et AC en M et N.
Construire un triangle équilatéral HMN du côté de MN opposé à C.
La droite CH coupe AB en P, et les parallèles issues de P à HM et HN coupent les côtés BC et AC en Q et R.

Pour une généralisation à des triangles PQR pas forcément équilatéraux, voir les triangles gigognes, où on trouvera une démonstration plus élégante et plus générale de Aire(TUV)/Aire(ABC) = Aire(ABC)/Aire(PQR).

Une relation avec les centres isodynamiques et isogonaux.