Heron et Bretschneider

La formule de Heron donne l'aire d'un triangle en fonction des côtés a, b, c.
En appelant p le demi périmètre p = (a+b+c)/2
 S = √p(p-a)(p-b)(p-c) 

Cette formule se généralise pour un quadrilatère en la formule de Bretschneider :

 S = √(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) - abcd.cos²((B+D)/2) 

d = 0 redonne la formule de Heron du triangle.

Ceci a aussi pour conséquence : Pour un quadrilatère de côtés a, b, c, d donnés, l'aire maximale est quand ce quadrilatère est inscriptible (B+D = 180°), le terme en cos² est alors nul. et la formule devient la formule de Brahmagupta de l'aire d'un quadrilatère inscrit.

Application :

Un parallélogramme est tel que ses sommets sont respectivement distants d'un point P intérieur de 1, 4, 7, 8
Aire maximale de ce parallélogramme ?


En réarrangeant les 4 morceaux du parallélogramme par translation, on obtient un polygone BFCEDP de même aire :
comme BF=AP=DE, FC=PD, CE = BP et CD=FP, les deux moitié PCED et CPBF sont égales. L'aire de ABCD est donc le double de l'aire du quadrilatère PCED dont les côtés sont 1, 4, 7, 8.
Cette aire est maximale quand ce quadrilatère est inscriptible et la formule de Brahmagupta donne son aire, et donc l'aire maximale de ABCD :
 2√(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) = 2√(10-1)(10-4)(10-7)(10-8) = 36

Construction
Soit donc à construire un quadrilatère ABCD inscriptible de côtés 1, 4, 7, 8.
Nous allons utiliser les formules de Ptolémée pour déterminer une diagonale du quadrilatère.
Les diagonales d'un quadrilatère inscriptible, AC = x et BD = y, sont liées par les formules

 xy = ac + bd    et    x/y = (ad + bc)/(ab + cd) 
ceci donne la diagonale AC : x² = (ac + bd)(ad + bc)/(ab + cd)
En posant u² = ac + bd, v² = ad + bc, w² = ab + cd, ceci s'écrit x² = u²v²/w² ou x = uv/w

Construction de u² = ac + bd :
En posant m² = ac et n² = bd, u est l'hypothénuse d'un triangle rectangle de côtés m et n.
m et n eux même s'obtiennent par une construction classique de la moyenne géométrique :
OA = a, OB = b, OC = c, OM² = OA.OC et ON² = OB.OD
OU_|_ON et OU=OM donne UN² = OA.OC + OB.OD soit UN = u

En répètant cette construction on obtient u, v, w.
Une construction classique donne alors x = uv/w (par x/u = v/w).


UN² = ac + bd, PV² = ad + bc et QW² = ab + cd
En reportant PU et QW sur une droite quelconque issue de N, puis les parallèles Uw et Gv donnent NG :
x/v = u/w soit NG = x = uv/w.

On peut alors complèter le quadrilatère à partir de la diagonale NG en construisant GE = a, NE = b et GF = d, NF = c

Nota : d'autres formes sont obtenues par permutations de a,b,c,d.
Pour la construction, cela revient à permuter u,v,w lors de la construction de la diagonale et à échanger a/b ou c/d lors de la construction de E/F.

Toutefois le rayon du cercle ne dépend pas de l'ordre des côtés. Il suffit pour s'en convaincre de permuter les secteurs de cercle définis par les côtés.

Deux autres constructions (et fichiers Geogebra), au final plus simples, sans utiliser les formules de Ptolémée.

 

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